Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50105 / 49945
↖ ↑ ↗
← S 68.189930°
E 95.234985°		 ← 226.93 m → S 68.189930°
E 95.240478°		 →
↑
226.94 m
↓
↑
226.94 m
↓
S 68.191971°
E 95.234985°		 ← 226.91 m →
51 495 m²		 S 68.191971°
E 95.240478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49945 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764549255371094 y=0.762107849121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764549255371094 × 216)
    floor (0.764549255371094 × 65536)
    floor (50105.5)     		tx = 50105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.762107849121094 × 216)
    floor (0.762107849121094 × 65536)
    floor (49945.5)     		ty = 49945
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50105 / 49945 ti = "16/50105/49945"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50105/49945.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50105 ÷ 216
    50105 ÷ 65536     		x = 0.764541625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49945 ÷ 216
    49945 ÷ 65536     		y = 0.762100219726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764541625976562 × 2 - 1) × π
    0.529083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66216406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.762100219726562 × 2 - 1) × π
    -0.524200439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64682424954741
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66216406} λ = 1.66216406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64682424954741))-π/2
    2×atan(0.192660780680179)-π/2
    2×0.190328761673817-π/2
    0.380657523347634-1.57079632675     		φ = -1.19013880
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66216406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.234985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.19013880 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.189930°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50105 KachelY 49945 1.66216406 -1.19013880 95.234985 -68.189930
    Oben rechts KachelX + 1 50106 KachelY 49945 1.66225993 -1.19013880 95.240478 -68.189930
    Unten links KachelX 50105 KachelY + 1 49946 1.66216406 -1.19017442 95.234985 -68.191971
    Unten rechts KachelX + 1 50106 KachelY + 1 49946 1.66225993 -1.19017442 95.240478 -68.191971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.19013880--1.19017442) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dl = 226.935020000089m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.19013880--1.19017442) × R
    3.5620000000014e-05 × 6371000     		dr = 226.935020000089m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66216406-1.66225993) × cos(-1.19013880) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371531011068197 × 6371000     		do = 226.926597736184m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66216406-1.66225993) × cos(-1.19017442) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371497940492706 × 6371000     		du = 226.906398633127m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.19013880)-sin(-1.19017442))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371531011068197-0.371497940492706)×R²
    abs(1.66225993-1.66216406)×3.30705754915117e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30705754915117e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30705754915117e-05×40589641000000     		ar = 51495.3000595055m²