Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50105 / 48398
↖ ↑ ↗
← S 64.806881°
E 95.234985°		 ← 259.99 m → S 64.806881°
E 95.240478°		 →
↑
260 m
↓
↑
260 m
↓
S 64.809219°
E 95.234985°		 ← 259.97 m →
67 596 m²		 S 64.809219°
E 95.240478°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50105 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48398 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764549255371094 y=0.738502502441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764549255371094 × 216)
    floor (0.764549255371094 × 65536)
    floor (50105.5)     		tx = 50105
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738502502441406 × 216)
    floor (0.738502502441406 × 65536)
    floor (48398.5)     		ty = 48398
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50105 / 48398 ti = "16/50105/48398"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50105/48398.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50105 ÷ 216
    50105 ÷ 65536     		x = 0.764541625976562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48398 ÷ 216
    48398 ÷ 65536     		y = 0.738494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764541625976562 × 2 - 1) × π
    0.529083251953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66216406
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738494873046875 × 2 - 1) × π
    -0.47698974609375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49850748212296
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66216406} λ = 1.66216406}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49850748212296))-π/2
    2×atan(0.223463434548492)-π/2
    2×0.219851436845293-π/2
    0.439702873690587-1.57079632675     		φ = -1.13109345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66216406} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.234985°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13109345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.806881°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50105 KachelY 48398 1.66216406 -1.13109345 95.234985 -64.806881
    Oben rechts KachelX + 1 50106 KachelY 48398 1.66225993 -1.13109345 95.240478 -64.806881
    Unten links KachelX 50105 KachelY + 1 48399 1.66216406 -1.13113426 95.234985 -64.809219
    Unten rechts KachelX + 1 50106 KachelY + 1 48399 1.66225993 -1.13113426 95.240478 -64.809219
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13109345--1.13113426) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dl = 260.000510000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13109345--1.13113426) × R
    4.08100000000022e-05 × 6371000     		dr = 260.000510000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66216406-1.66225993) × cos(-1.13109345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.42567062355452 × 6371000     		do = 259.994410915369m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66216406-1.66225993) × cos(-1.13113426) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425633695121546 × 6371000     		du = 259.971855480143m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13109345)-sin(-1.13113426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.42567062355452-0.425633695121546)×R²
    abs(1.66225993-1.66216406)×3.69284329744812e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69284329744812e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69284329744812e-05×40589641000000     		ar = 67595.7472324247m²