Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50104 / 58434
↖ ↑ ↗
← N 19.139979°
W 42.385254°		 ← 288.48 m → N 19.139979°
W 42.382507°		 →
↑
288.54 m
↓
↑
288.54 m
↓
N 19.137384°
W 42.385254°		 ← 288.49 m →
83 240 m²		 N 19.137384°
W 42.382507°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58434 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382266998291016 y=0.445819854736328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382266998291016 × 217)
    floor (0.382266998291016 × 131072)
    floor (50104.5)     		tx = 50104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445819854736328 × 217)
    floor (0.445819854736328 × 131072)
    floor (58434.5)     		ty = 58434
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50104 / 58434 ti = "17/50104/58434"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50104/58434.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50104 ÷ 217
    50104 ÷ 131072     		x = 0.38226318359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58434 ÷ 217
    58434 ÷ 131072     		y = 0.445816040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.38226318359375 × 2 - 1) × π
    -0.2354736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.73976223
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445816040039062 × 2 - 1) × π
    0.108367919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.340447861101639
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.73976223} λ = -0.73976223}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340447861101639))-π/2
    2×atan(1.40557695286217)-π/2
    2×0.952425987575471-π/2
    1.90485197515094-1.57079632675     		φ = 0.33405565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.73976223} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.385254°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33405565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.139979°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50104 KachelY 58434 -0.73976223 0.33405565 -42.385254 19.139979
    Oben rechts KachelX + 1 50105 KachelY 58434 -0.73971430 0.33405565 -42.382507 19.139979
    Unten links KachelX 50104 KachelY + 1 58435 -0.73976223 0.33401036 -42.385254 19.137384
    Unten rechts KachelX + 1 50105 KachelY + 1 58435 -0.73971430 0.33401036 -42.382507 19.137384
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33405565-0.33401036) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dl = 288.542589999845m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33405565-0.33401036) × R
    4.52899999999756e-05 × 6371000     		dr = 288.542589999845m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.73976223--0.73971430) × cos(0.33405565) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944720361640994 × 6371000     		do = 288.481727412537m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.73976223--0.73971430) × cos(0.33401036) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.9447352102291 × 6371000     		du = 288.486261607543m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33405565)-sin(0.33401036))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944720361640994-0.9447352102291)×R²
    abs(-0.73971430--0.73976223)×1.48485881054095e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.48485881054095e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.48485881054095e-05×40589641000000     		ar = 83239.9189636081m²