Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50104 / 48708
↖ ↑ ↗
← S 65.522069°
E 95.229492°		 ← 253.10 m → S 65.522069°
E 95.234985°		 →
↑
253.06 m
↓
↑
253.06 m
↓
S 65.524344°
E 95.229492°		 ← 253.08 m →
64 046 m²		 S 65.524344°
E 95.234985°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50104 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48708 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764533996582031 y=0.743232727050781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764533996582031 × 216)
    floor (0.764533996582031 × 65536)
    floor (50104.5)     		tx = 50104
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743232727050781 × 216)
    floor (0.743232727050781 × 65536)
    floor (48708.5)     		ty = 48708
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50104 / 48708 ti = "16/50104/48708"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50104/48708.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50104 ÷ 216
    50104 ÷ 65536     		x = 0.7645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48708 ÷ 216
    48708 ÷ 65536     		y = 0.74322509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7645263671875 × 2 - 1) × π
    0.529052734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66206818
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.74322509765625 × 2 - 1) × π
    -0.4864501953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.52822835988739
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66206818} λ = 1.66206818}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52822835988739))-π/2
    2×atan(0.216919630611994)-π/2
    2×0.213610250672166-π/2
    0.427220501344331-1.57079632675     		φ = -1.14357583
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66206818} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.229492°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14357583 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.522069°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50104 KachelY 48708 1.66206818 -1.14357583 95.229492 -65.522069
    Oben rechts KachelX + 1 50105 KachelY 48708 1.66216406 -1.14357583 95.234985 -65.522069
    Unten links KachelX 50104 KachelY + 1 48709 1.66206818 -1.14361555 95.229492 -65.524344
    Unten rechts KachelX + 1 50105 KachelY + 1 48709 1.66216406 -1.14361555 95.234985 -65.524344
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14357583--1.14361555) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dl = 253.056119999779m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14357583--1.14361555) × R
    3.97199999999653e-05 × 6371000     		dr = 253.056119999779m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66206818-1.66216406) × cos(-1.14357583) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.414342722172328 × 6371000     		do = 253.101865066616m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66206818-1.66216406) × cos(-1.14361555) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.414306571842119 × 6371000     		du = 253.079782583905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14357583)-sin(-1.14361555))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.414342722172328-0.414306571842119)×R²
    abs(1.66216406-1.66206818)×3.61503302094834e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.61503302094834e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.61503302094834e-05×40589641000000     		ar = 64046.1818929109m²