Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50103 / 48394
↖ ↑ ↗
← S 64.797526°
E 95.223999°		 ← 260.08 m → S 64.797526°
E 95.229492°		 →
↑
260.13 m
↓
↑
260.13 m
↓
S 64.799866°
E 95.223999°		 ← 260.06 m →
67 652 m²		 S 64.799866°
E 95.229492°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50103 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48394 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764518737792969 y=0.738441467285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764518737792969 × 216)
    floor (0.764518737792969 × 65536)
    floor (50103.5)     		tx = 50103
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738441467285156 × 216)
    floor (0.738441467285156 × 65536)
    floor (48394.5)     		ty = 48394
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50103 / 48394 ti = "16/50103/48394"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50103/48394.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50103 ÷ 216
    50103 ÷ 65536     		x = 0.764511108398438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48394 ÷ 216
    48394 ÷ 65536     		y = 0.738433837890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764511108398438 × 2 - 1) × π
    0.529022216796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66197231
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738433837890625 × 2 - 1) × π
    -0.47686767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49812398692599
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66197231} λ = 1.66197231}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49812398692599))-π/2
    2×atan(0.223549148136662)-π/2
    2×0.21993307232781-π/2
    0.43986614465562-1.57079632675     		φ = -1.13093018
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66197231} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.223999°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13093018 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.797526°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50103 KachelY 48394 1.66197231 -1.13093018 95.223999 -64.797526
    Oben rechts KachelX + 1 50104 KachelY 48394 1.66206818 -1.13093018 95.229492 -64.797526
    Unten links KachelX 50103 KachelY + 1 48395 1.66197231 -1.13097101 95.223999 -64.799866
    Unten rechts KachelX + 1 50104 KachelY + 1 48395 1.66206818 -1.13097101 95.229492 -64.799866
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13093018--1.13097101) × R
    4.08300000001027e-05 × 6371000     		dl = 260.127930000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13093018--1.13097101) × R
    4.08300000001027e-05 × 6371000     		dr = 260.127930000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66197231-1.66206818) × cos(-1.13093018) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425818357340706 × 6371000     		do = 260.084644905187m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66197231-1.66206818) × cos(-1.13097101) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.425781413647844 × 6371000     		du = 260.062080149408m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13093018)-sin(-1.13097101))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425818357340706-0.425781413647844)×R²
    abs(1.66206818-1.66197231)×3.69436928622791e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69436928622791e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69436928622791e-05×40589641000000     		ar = 67652.3454518328m²