Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50102 / 48342
↖ ↑ ↗
← S 64.675619°
E 95.218506°		 ← 261.26 m → S 64.675619°
E 95.223999°		 →
↑
261.27 m
↓
↑
261.27 m
↓
S 64.677969°
E 95.218506°		 ← 261.24 m →
68 258 m²		 S 64.677969°
E 95.223999°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48342 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764503479003906 y=0.737648010253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764503479003906 × 216)
    floor (0.764503479003906 × 65536)
    floor (50102.5)     		tx = 50102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737648010253906 × 216)
    floor (0.737648010253906 × 65536)
    floor (48342.5)     		ty = 48342
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50102 / 48342 ti = "16/50102/48342"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50102/48342.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50102 ÷ 216
    50102 ÷ 65536     		x = 0.764495849609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48342 ÷ 216
    48342 ÷ 65536     		y = 0.737640380859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764495849609375 × 2 - 1) × π
    0.52899169921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66187644
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737640380859375 × 2 - 1) × π
    -0.47528076171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49313854936551
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66187644} λ = 1.66187644}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49313854936551))-π/2
    2×atan(0.224666421189807)-π/2
    2×0.220996914560899-π/2
    0.441993829121797-1.57079632675     		φ = -1.12880250
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66187644} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.218506°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12880250 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.675619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50102 KachelY 48342 1.66187644 -1.12880250 95.218506 -64.675619
    Oben rechts KachelX + 1 50103 KachelY 48342 1.66197231 -1.12880250 95.223999 -64.675619
    Unten links KachelX 50102 KachelY + 1 48343 1.66187644 -1.12884351 95.218506 -64.677969
    Unten rechts KachelX + 1 50103 KachelY + 1 48343 1.66197231 -1.12884351 95.223999 -64.677969
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12880250--1.12884351) × R
    4.1010000000119e-05 × 6371000     		dl = 261.274710000758m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12880250--1.12884351) × R
    4.1010000000119e-05 × 6371000     		dr = 261.274710000758m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66187644-1.66197231) × cos(-1.12880250) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427742535351713 × 6371000     		do = 261.259909301613m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66187644-1.66197231) × cos(-1.12884351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.427705466027772 × 6371000     		du = 261.237267811908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12880250)-sin(-1.12884351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.427742535351713-0.427705466027772)×R²
    abs(1.66197231-1.66187644)×3.70693239413744e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.70693239413744e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.70693239413744e-05×40589641000000     		ar = 68257.649222949m²