Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50101 / 48861
↖ ↑ ↗
← S 65.867988°
E 95.213013°		 ← 249.74 m → S 65.867988°
E 95.218506°		 →
↑
249.74 m
↓
↑
249.74 m
↓
S 65.870234°
E 95.213013°		 ← 249.72 m →
62 368 m²		 S 65.870234°
E 95.218506°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764488220214844 y=0.745567321777344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764488220214844 × 216)
    floor (0.764488220214844 × 65536)
    floor (50101.5)     		tx = 50101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745567321777344 × 216)
    floor (0.745567321777344 × 65536)
    floor (48861.5)     		ty = 48861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50101 / 48861 ti = "16/50101/48861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50101/48861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50101 ÷ 216
    50101 ÷ 65536     		x = 0.764480590820312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48861 ÷ 216
    48861 ÷ 65536     		y = 0.745559692382812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764480590820312 × 2 - 1) × π
    0.528961181640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66178056
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745559692382812 × 2 - 1) × π
    -0.491119384765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54289705117113
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66178056} λ = 1.66178056}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54289705117113))-π/2
    2×atan(0.213760927178044)-π/2
    2×0.210591531638805-π/2
    0.421183063277609-1.57079632675     		φ = -1.14961326
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66178056} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.213013°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14961326 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.867988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50101 KachelY 48861 1.66178056 -1.14961326 95.213013 -65.867988
    Oben rechts KachelX + 1 50102 KachelY 48861 1.66187644 -1.14961326 95.218506 -65.867988
    Unten links KachelX 50101 KachelY + 1 48862 1.66178056 -1.14965246 95.213013 -65.870234
    Unten rechts KachelX + 1 50102 KachelY + 1 48862 1.66187644 -1.14965246 95.218506 -65.870234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14961326--1.14965246) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dl = 249.743200000108m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14961326--1.14965246) × R
    3.9200000000017e-05 × 6371000     		dr = 249.743200000108m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66178056-1.66187644) × cos(-1.14961326) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408840412653325 × 6371000     		do = 249.74077115293m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66178056-1.66187644) × cos(-1.14965246) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408804638188186 × 6371000     		du = 249.718918267954m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14961326)-sin(-1.14965246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408840412653325-0.408804638188186)×R²
    abs(1.66187644-1.66178056)×3.57744651391378e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.57744651391378e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.57744651391378e-05×40589641000000     		ar = 62368.3305614332m²