Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50100 / 49936
↖ ↑ ↗
← S 68.171555°
E 95.207520°		 ← 227.11 m → S 68.171555°
E 95.213013°		 →
↑
227.13 m
↓
↑
227.13 m
↓
S 68.173598°
E 95.207520°		 ← 227.09 m →
51 580 m²		 S 68.173598°
E 95.213013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 49936 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764472961425781 y=0.761970520019531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764472961425781 × 216)
    floor (0.764472961425781 × 65536)
    floor (50100.5)     		tx = 50100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.761970520019531 × 216)
    floor (0.761970520019531 × 65536)
    floor (49936.5)     		ty = 49936
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50100 / 49936 ti = "16/50100/49936"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50100/49936.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50100 ÷ 216
    50100 ÷ 65536     		x = 0.76446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 49936 ÷ 216
    49936 ÷ 65536     		y = 0.761962890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    0.5289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66168469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.761962890625 × 2 - 1) × π
    -0.52392578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.64596138535425
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66168469} λ = 1.66168469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.64596138535425))-π/2
    2×atan(0.192827092511198)-π/2
    2×0.190489116294274-π/2
    0.380978232588548-1.57079632675     		φ = -1.18981809
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66168469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.18981809 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -68.171555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50100 KachelY 49936 1.66168469 -1.18981809 95.207520 -68.171555
    Oben rechts KachelX + 1 50101 KachelY 49936 1.66178056 -1.18981809 95.213013 -68.171555
    Unten links KachelX 50100 KachelY + 1 49937 1.66168469 -1.18985374 95.207520 -68.173598
    Unten rechts KachelX + 1 50101 KachelY + 1 49937 1.66178056 -1.18985374 95.213013 -68.173598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.18981809--1.18985374) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dl = 227.126150000342m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.18981809--1.18985374) × R
    3.56500000000537e-05 × 6371000     		dr = 227.126150000342m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66168469-1.66178056) × cos(-1.18981809) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371828745709089 × 6371000     		do = 227.108450413547m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66168469-1.66178056) × cos(-1.18985374) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.371795651529927 × 6371000     		du = 227.088236893656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.18981809)-sin(-1.18985374))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.371828745709089-0.371795651529927)×R²
    abs(1.66178056-1.66168469)×3.30941791623629e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.30941791623629e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.30941791623629e-05×40589641000000     		ar = 51579.9724711548m²