Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50100 / 48726
↖ ↑ ↗
← S 65.563005°
E 95.207520°		 ← 252.68 m → S 65.563005°
E 95.213013°		 →
↑
252.67 m
↓
↑
252.67 m
↓
S 65.565278°
E 95.207520°		 ← 252.66 m →
63 842 m²		 S 65.565278°
E 95.213013°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50100 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48726 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764472961425781 y=0.743507385253906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764472961425781 × 216)
    floor (0.764472961425781 × 65536)
    floor (50100.5)     		tx = 50100
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743507385253906 × 216)
    floor (0.743507385253906 × 65536)
    floor (48726.5)     		ty = 48726
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50100 / 48726 ti = "16/50100/48726"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50100/48726.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50100 ÷ 216
    50100 ÷ 65536     		x = 0.76446533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48726 ÷ 216
    48726 ÷ 65536     		y = 0.743499755859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76446533203125 × 2 - 1) × π
    0.5289306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66168469
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743499755859375 × 2 - 1) × π
    -0.48699951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52995408827371
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66168469} λ = 1.66168469}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52995408827371))-π/2
    2×atan(0.216545609070516)-π/2
    2×0.213253009818888-π/2
    0.426506019637777-1.57079632675     		φ = -1.14429031
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66168469} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.207520°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14429031 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.563005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50100 KachelY 48726 1.66168469 -1.14429031 95.207520 -65.563005
    Oben rechts KachelX + 1 50101 KachelY 48726 1.66178056 -1.14429031 95.213013 -65.563005
    Unten links KachelX 50100 KachelY + 1 48727 1.66168469 -1.14432997 95.207520 -65.565278
    Unten rechts KachelX + 1 50101 KachelY + 1 48727 1.66178056 -1.14432997 95.213013 -65.565278
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14429031--1.14432997) × R
    3.96600000001079e-05 × 6371000     		dl = 252.673860000688m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14429031--1.14432997) × R
    3.96600000001079e-05 × 6371000     		dr = 252.673860000688m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66168469-1.66178056) × cos(-1.14429031) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413692353267875 × 6371000     		do = 252.678229918532m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66168469-1.66178056) × cos(-1.14432997) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.413656245814704 × 6371000     		du = 252.656175927729m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14429031)-sin(-1.14432997))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413692353267875-0.413656245814704)×R²
    abs(1.66178056-1.66168469)×3.61074531716743e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.61074531716743e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.61074531716743e-05×40589641000000     		ar = 63842.3974662464m²