Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 5010 / 9170
↖ ↑ ↗
← N 61.845783°
W124.958496°		 ← 576.43 m → N 61.845783°
W124.947510°		 →
↑
576.45 m
↓
↑
576.45 m
↓
N 61.840599°
W124.958496°		 ← 576.52 m →
332 308 m²		 N 61.840599°
W124.947510°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 9170 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.152908325195312 y=0.279861450195312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.152908325195312 × 215)
    floor (0.152908325195312 × 32768)
    floor (5010.5)     		tx = 5010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.279861450195312 × 215)
    floor (0.279861450195312 × 32768)
    floor (9170.5)     		ty = 9170
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5010 / 9170 ti = "15/5010/9170"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5010/9170.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5010 ÷ 215
    5010 ÷ 32768     		x = 0.15289306640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 9170 ÷ 215
    9170 ÷ 32768     		y = 0.27984619140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.15289306640625 × 2 - 1) × π
    -0.6942138671875 × 3.1415926535     		Λ = -2.18093719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.27984619140625 × 2 - 1) × π
    0.4403076171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.38326717543634
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.18093719} λ = -2.18093719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.38326717543634))-π/2
    2×atan(3.98790956649232)-π/2
    2×1.32510443281283-π/2
    2.65020886562566-1.57079632675     		φ = 1.07941254
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.18093719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -124.958496°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.07941254 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 61.845783°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5010 KachelY 9170 -2.18093719 1.07941254 -124.958496 61.845783
    Oben rechts KachelX + 1 5011 KachelY 9170 -2.18074544 1.07941254 -124.947510 61.845783
    Unten links KachelX 5010 KachelY + 1 9171 -2.18093719 1.07932206 -124.958496 61.840599
    Unten rechts KachelX + 1 5011 KachelY + 1 9171 -2.18074544 1.07932206 -124.947510 61.840599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.07941254-1.07932206) × R
    9.04800000001149e-05 × 6371000     		dl = 576.448080000732m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.07941254-1.07932206) × R
    9.04800000001149e-05 × 6371000     		dr = 576.448080000732m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.18093719--2.18074544) × cos(1.07941254) × R
    0.000191749999999935 × 0.471846397747284 × 6371000     		do = 576.426079458999m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.18093719--2.18074544) × cos(1.07932206) × R
    0.000191749999999935 × 0.471926170291662 × 6371000     		du = 576.523532730283m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.07941254)-sin(1.07932206))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.471846397747284-0.471926170291662)×R²
    abs(-2.18074544--2.18093719)×7.97725443777986e-05×R²
    0.000191749999999935×7.97725443777986e-05×6371000²
    0.000191749999999935×7.97725443777986e-05×40589641000000     		ar = 332307.795368886m²