Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5010 / 3472
↖ ↑ ↗
← N 71.413177°
W 69.916992°		 ← 778.77 m → N 71.413177°
W 69.895019°		 →
↑
778.92 m
↓
↑
778.92 m
↓
N 71.406172°
W 69.916992°		 ← 779.06 m →
606 712 m²		 N 71.406172°
W 69.895019°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305816650390625 y=0.211944580078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305816650390625 × 214)
    floor (0.305816650390625 × 16384)
    floor (5010.5)     		tx = 5010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211944580078125 × 214)
    floor (0.211944580078125 × 16384)
    floor (3472.5)     		ty = 3472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5010 / 3472 ti = "14/5010/3472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5010/3472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5010 ÷ 214
    5010 ÷ 16384     		x = 0.3057861328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3472 ÷ 214
    3472 ÷ 16384     		y = 0.2119140625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3057861328125 × 2 - 1) × π
    -0.388427734375 × 3.1415926535     		Λ = -1.22028172
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2119140625 × 2 - 1) × π
    0.576171875 × 3.1415926535     		Φ = 1.81009732965332
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22028172} λ = -1.22028172}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81009732965332))-π/2
    2×atan(6.11104218890408)-π/2
    2×1.40859569592002-π/2
    2.81719139184005-1.57079632675     		φ = 1.24639507
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22028172} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.916992°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24639507 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.413177°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5010 KachelY 3472 -1.22028172 1.24639507 -69.916992 71.413177
    Oben rechts KachelX + 1 5011 KachelY 3472 -1.21989822 1.24639507 -69.895019 71.413177
    Unten links KachelX 5010 KachelY + 1 3473 -1.22028172 1.24627281 -69.916992 71.406172
    Unten rechts KachelX + 1 5011 KachelY + 1 3473 -1.21989822 1.24627281 -69.895019 71.406172
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24639507-1.24627281) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dl = 778.918459999552m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24639507-1.24627281) × R
    0.00012225999999993 × 6371000     		dr = 778.918459999552m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22028172--1.21989822) × cos(1.24639507) × R
    0.000383500000000092 × 0.318741329222602 × 6371000     		do = 778.773836751192m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22028172--1.21989822) × cos(1.24627281) × R
    0.000383500000000092 × 0.318857209971313 × 6371000     		du = 779.056965693082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24639507)-sin(1.24627281))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318741329222602-0.318857209971313)×R²
    abs(-1.21989822--1.22028172)×0.000115880748711328×R²
    0.000383500000000092×0.000115880748711328×6371000²
    0.000383500000000092×0.000115880748711328×40589641000000     		ar = 606711.585544668m²