Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 5010 / 1180
↖ ↑ ↗
← N 77.804771°
E 40.166016°		 ← 1 032.24 m → N 77.804771°
E 40.209961°		 →
↑
1 032.61 m
↓
↑
1 032.61 m
↓
N 77.795484°
E 40.166016°		 ← 1 033.01 m →
1 066 302 m²		 N 77.795484°
E 40.209961°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5010 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.61163330078125 y=0.14410400390625 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.61163330078125 × 213)
    floor (0.61163330078125 × 8192)
    floor (5010.5)     		tx = 5010
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.14410400390625 × 213)
    floor (0.14410400390625 × 8192)
    floor (1180.5)     		ty = 1180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 5010 / 1180 ti = "13/5010/1180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/5010/1180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5010 ÷ 213
    5010 ÷ 8192     		x = 0.611572265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1180 ÷ 213
    1180 ÷ 8192     		y = 0.14404296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.611572265625 × 2 - 1) × π
    0.22314453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.70102922
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.14404296875 × 2 - 1) × π
    0.7119140625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23654398867334
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.70102922} λ = 0.70102922}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23654398867334))-π/2
    2×atan(9.36092386059167)-π/2
    2×1.46437287499428-π/2
    2.92874574998857-1.57079632675     		φ = 1.35794942
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.70102922} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 40.166016°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35794942 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.804771°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5010 KachelY 1180 0.70102922 1.35794942 40.166016 77.804771
    Oben rechts KachelX + 1 5011 KachelY 1180 0.70179621 1.35794942 40.209961 77.804771
    Unten links KachelX 5010 KachelY + 1 1181 0.70102922 1.35778734 40.166016 77.795484
    Unten rechts KachelX + 1 5011 KachelY + 1 1181 0.70179621 1.35778734 40.209961 77.795484
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35794942-1.35778734) × R
    0.000162079999999953 × 6371000     		dl = 1032.6116799997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35794942-1.35778734) × R
    0.000162079999999953 × 6371000     		dr = 1032.6116799997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.70102922-0.70179621) × cos(1.35794942) × R
    0.000766990000000023 × 0.211243414171206 × 6371000     		do = 1032.23952590432m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.70102922-0.70179621) × cos(1.35778734) × R
    0.000766990000000023 × 0.211401833815283 × 6371000     		du = 1033.01364243211m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35794942)-sin(1.35778734))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211243414171206-0.211401833815283)×R²
    abs(0.70179621-0.70102922)×0.000158419644077173×R²
    0.000766990000000023×0.000158419644077173×6371000²
    0.000766990000000023×0.000158419644077173×40589641000000     		ar = 1066302.27422401m²