Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50099 / 48722
↖ ↑ ↗
← S 65.553914°
E 95.202026°		 ← 252.79 m → S 65.553914°
E 95.207520°		 →
↑
252.74 m
↓
↑
252.74 m
↓
S 65.556187°
E 95.202026°		 ← 252.77 m →
63 887 m²		 S 65.556187°
E 95.207520°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48722 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764457702636719 y=0.743446350097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764457702636719 × 216)
    floor (0.764457702636719 × 65536)
    floor (50099.5)     		tx = 50099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.743446350097656 × 216)
    floor (0.743446350097656 × 65536)
    floor (48722.5)     		ty = 48722
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50099 / 48722 ti = "16/50099/48722"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50099/48722.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50099 ÷ 216
    50099 ÷ 65536     		x = 0.764450073242188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48722 ÷ 216
    48722 ÷ 65536     		y = 0.743438720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764450073242188 × 2 - 1) × π
    0.528900146484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66158881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.743438720703125 × 2 - 1) × π
    -0.48687744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.52957059307675
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66158881} λ = 1.66158881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52957059307675))-π/2
    2×atan(0.216628669197079)-π/2
    2×0.213332348183611-π/2
    0.426664696367221-1.57079632675     		φ = -1.14413163
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66158881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.202026°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14413163 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.553914°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50099 KachelY 48722 1.66158881 -1.14413163 95.202026 -65.553914
    Oben rechts KachelX + 1 50100 KachelY 48722 1.66168469 -1.14413163 95.207520 -65.553914
    Unten links KachelX 50099 KachelY + 1 48723 1.66158881 -1.14417130 95.202026 -65.556187
    Unten rechts KachelX + 1 50100 KachelY + 1 48723 1.66168469 -1.14417130 95.207520 -65.556187
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14413163--1.14417130) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dl = 252.737570000301m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14413163--1.14417130) × R
    3.96700000000472e-05 × 6371000     		dr = 252.737570000301m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66158881-1.66168469) × cos(-1.14413163) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413836812987006 × 6371000     		do = 252.79282969143m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66158881-1.66168469) × cos(-1.14417130) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.413800699033969 × 6371000     		du = 252.770769429769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14413163)-sin(-1.14417130))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.413836812987006-0.413800699033969)×R²
    abs(1.66168469-1.66158881)×3.61139530367094e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.61139530367094e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.61139530367094e-05×40589641000000     		ar = 63887.457769608m²