Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50098 / 50970
↖ ↑ ↗
← S 70.188826°
E 95.196533°		 ← 207.01 m → S 70.188826°
E 95.202026°		 →
↑
206.99 m
↓
↑
206.99 m
↓
S 70.190688°
E 95.196533°		 ← 206.99 m →
42 848 m²		 S 70.190688°
E 95.202026°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50970 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764442443847656 y=0.777748107910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764442443847656 × 216)
    floor (0.764442443847656 × 65536)
    floor (50098.5)     		tx = 50098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777748107910156 × 216)
    floor (0.777748107910156 × 65536)
    floor (50970.5)     		ty = 50970
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50098 / 50970 ti = "16/50098/50970"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50098/50970.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50098 ÷ 216
    50098 ÷ 65536     		x = 0.764434814453125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50970 ÷ 216
    50970 ÷ 65536     		y = 0.777740478515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764434814453125 × 2 - 1) × π
    0.52886962890625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66149294
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777740478515625 × 2 - 1) × π
    -0.55548095703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74509489376852
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66149294} λ = 1.66149294}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74509489376852))-π/2
    2×atan(0.174628417031953)-π/2
    2×0.17288510233025-π/2
    0.345770204660501-1.57079632675     		φ = -1.22502612
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66149294} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.196533°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22502612 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.188826°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50098 KachelY 50970 1.66149294 -1.22502612 95.196533 -70.188826
    Oben rechts KachelX + 1 50099 KachelY 50970 1.66158881 -1.22502612 95.202026 -70.188826
    Unten links KachelX 50098 KachelY + 1 50971 1.66149294 -1.22505861 95.196533 -70.190688
    Unten rechts KachelX + 1 50099 KachelY + 1 50971 1.66158881 -1.22505861 95.202026 -70.190688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22502612--1.22505861) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dl = 206.993789999622m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22502612--1.22505861) × R
    3.24899999999406e-05 × 6371000     		dr = 206.993789999622m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66149294-1.66158881) × cos(-1.22502612) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338921399571977 × 6371000     		do = 207.009045849842m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66149294-1.66158881) × cos(-1.22505861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338890832323753 × 6371000     		du = 206.990375748464m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22502612)-sin(-1.22505861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338921399571977-0.338890832323753)×R²
    abs(1.66158881-1.66149294)×3.05672482243668e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05672482243668e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05672482243668e-05×40589641000000     		ar = 42847.6546710591m²