Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50097 / 58419
↖ ↑ ↗
← N 19.178895°
W 42.404480°		 ← 288.41 m → N 19.178895°
W 42.401734°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.176302°
W 42.404480°		 ← 288.42 m →
83 184 m²		 N 19.176302°
W 42.401734°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58419 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382213592529297 y=0.445705413818359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382213592529297 × 217)
    floor (0.382213592529297 × 131072)
    floor (50097.5)     		tx = 50097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445705413818359 × 217)
    floor (0.445705413818359 × 131072)
    floor (58419.5)     		ty = 58419
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50097 / 58419 ti = "17/50097/58419"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50097/58419.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50097 ÷ 217
    50097 ÷ 131072     		x = 0.382209777832031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58419 ÷ 217
    58419 ÷ 131072     		y = 0.445701599121094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382209777832031 × 2 - 1) × π
    -0.235580444335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.74009779
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445701599121094 × 2 - 1) × π
    0.108596801757812 × 3.1415926535     		Φ = 0.34116691459594
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74009779} λ = -0.74009779}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34116691459594))-π/2
    2×atan(1.40658800133705)-π/2
    2×0.952765599752871-π/2
    1.90553119950574-1.57079632675     		φ = 0.33473487
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74009779} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.404480°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33473487 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.178895°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50097 KachelY 58419 -0.74009779 0.33473487 -42.404480 19.178895
    Oben rechts KachelX + 1 50098 KachelY 58419 -0.74004986 0.33473487 -42.401734 19.178895
    Unten links KachelX 50097 KachelY + 1 58420 -0.74009779 0.33468960 -42.404480 19.176302
    Unten rechts KachelX + 1 50098 KachelY + 1 58420 -0.74004986 0.33468960 -42.401734 19.176302
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33473487-0.33468960) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dl = 288.415170000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33473487-0.33468960) × R
    4.52700000000417e-05 × 6371000     		dr = 288.415170000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74009779--0.74004986) × cos(0.33473487) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944497443008481 × 6371000     		do = 288.413656527055m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74009779--0.74004986) × cos(0.33468960) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.944512314085236 × 6371000     		du = 288.418197589242m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33473487)-sin(0.33468960))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944497443008481-0.944512314085236)×R²
    abs(-0.74004986--0.74009779)×1.48710767550186e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.48710767550186e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.48710767550186e-05×40589641000000     		ar = 83183.5286474622m²