Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50097 / 51038
↖ ↑ ↗
← S 70.315038°
E 95.191040°		 ← 205.74 m → S 70.315038°
E 95.196533°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 70.316888°
E 95.191040°		 ← 205.72 m →
42 323 m²		 S 70.316888°
E 95.196533°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51038 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764427185058594 y=0.778785705566406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764427185058594 × 216)
    floor (0.764427185058594 × 65536)
    floor (50097.5)     		tx = 50097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778785705566406 × 216)
    floor (0.778785705566406 × 65536)
    floor (51038.5)     		ty = 51038
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50097 / 51038 ti = "16/50097/51038"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50097/51038.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50097 ÷ 216
    50097 ÷ 65536     		x = 0.764419555664062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51038 ÷ 216
    51038 ÷ 65536     		y = 0.778778076171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764419555664062 × 2 - 1) × π
    0.528839111328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66139707
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778778076171875 × 2 - 1) × π
    -0.55755615234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75161431211685
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66139707} λ = 1.66139707}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75161431211685))-π/2
    2×atan(0.173493644373909)-π/2
    2×0.171783699252531-π/2
    0.343567398505062-1.57079632675     		φ = -1.22722893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66139707} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.191040°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22722893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.315038°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50097 KachelY 51038 1.66139707 -1.22722893 95.191040 -70.315038
    Oben rechts KachelX + 1 50098 KachelY 51038 1.66149294 -1.22722893 95.196533 -70.315038
    Unten links KachelX 50097 KachelY + 1 51039 1.66139707 -1.22726122 95.191040 -70.316888
    Unten rechts KachelX + 1 50098 KachelY + 1 51039 1.66149294 -1.22726122 95.196533 -70.316888
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22722893--1.22726122) × R
    3.22899999998238e-05 × 6371000     		dl = 205.719589998878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22722893--1.22726122) × R
    3.22899999998238e-05 × 6371000     		dr = 205.719589998878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66139707-1.66149294) × cos(-1.22722893) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336848142950058 × 6371000     		do = 205.742726061102m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66139707-1.66149294) × cos(-1.22726122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336817739834722 × 6371000     		du = 205.724156210086m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22722893)-sin(-1.22726122))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336848142950058-0.336817739834722)×R²
    abs(1.66149294-1.66139707)×3.04031153355311e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04031153355311e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04031153355311e-05×40589641000000     		ar = 42323.3991634908m²