Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50096 / 48866
↖ ↑ ↗
← S 65.879215°
E 95.185547°		 ← 249.63 m → S 65.879215°
E 95.191040°		 →
↑
249.55 m
↓
↑
249.55 m
↓
S 65.881459°
E 95.185547°		 ← 249.61 m →
62 293 m²		 S 65.881459°
E 95.191040°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48866 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764411926269531 y=0.745643615722656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764411926269531 × 216)
    floor (0.764411926269531 × 65536)
    floor (50096.5)     		tx = 50096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.745643615722656 × 216)
    floor (0.745643615722656 × 65536)
    floor (48866.5)     		ty = 48866
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50096 / 48866 ti = "16/50096/48866"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50096/48866.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50096 ÷ 216
    50096 ÷ 65536     		x = 0.764404296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48866 ÷ 216
    48866 ÷ 65536     		y = 0.745635986328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764404296875 × 2 - 1) × π
    0.52880859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66130119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.745635986328125 × 2 - 1) × π
    -0.49127197265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.54337642016733
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66130119} λ = 1.66130119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.54337642016733))-π/2
    2×atan(0.213658481373588)-π/2
    2×0.210493560362644-π/2
    0.420987120725289-1.57079632675     		φ = -1.14980921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66130119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.185547°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14980921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.879215°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50096 KachelY 48866 1.66130119 -1.14980921 95.185547 -65.879215
    Oben rechts KachelX + 1 50097 KachelY 48866 1.66139707 -1.14980921 95.191040 -65.879215
    Unten links KachelX 50096 KachelY + 1 48867 1.66130119 -1.14984838 95.185547 -65.881459
    Unten rechts KachelX + 1 50097 KachelY + 1 48867 1.66139707 -1.14984838 95.191040 -65.881459
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14980921--1.14984838) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dl = 249.552069999855m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14980921--1.14984838) × R
    3.91699999999773e-05 × 6371000     		dr = 249.552069999855m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66130119-1.66139707) × cos(-1.14980921) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408661579680623 × 6371000     		do = 249.631530766883m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66130119-1.66139707) × cos(-1.14984838) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.408625829456967 × 6371000     		du = 249.609692689852m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14980921)-sin(-1.14984838))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.408661579680623-0.408625829456967)×R²
    abs(1.66139707-1.66130119)×3.57502236561502e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.57502236561502e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.57502236561502e-05×40589641000000     		ar = 62293.3403793738m²