Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50095 / 51039
↖ ↑ ↗
← S 70.316888°
E 95.180054°		 ← 205.72 m → S 70.316888°
E 95.185547°		 →
↑
205.72 m
↓
↑
205.72 m
↓
S 70.318738°
E 95.180054°		 ← 205.71 m →
42 320 m²		 S 70.318738°
E 95.185547°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51039 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764396667480469 y=0.778800964355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764396667480469 × 216)
    floor (0.764396667480469 × 65536)
    floor (50095.5)     		tx = 50095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778800964355469 × 216)
    floor (0.778800964355469 × 65536)
    floor (51039.5)     		ty = 51039
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50095 / 51039 ti = "16/50095/51039"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50095/51039.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50095 ÷ 216
    50095 ÷ 65536     		x = 0.764389038085938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51039 ÷ 216
    51039 ÷ 65536     		y = 0.778793334960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764389038085938 × 2 - 1) × π
    0.528778076171875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66120532
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778793334960938 × 2 - 1) × π
    -0.557586669921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75171018591609
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66120532} λ = 1.66120532}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75171018591609))-π/2
    2×atan(0.173477011676412)-π/2
    2×0.171767552525641-π/2
    0.343535105051282-1.57079632675     		φ = -1.22726122
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66120532} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.180054°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22726122 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.316888°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50095 KachelY 51039 1.66120532 -1.22726122 95.180054 -70.316888
    Oben rechts KachelX + 1 50096 KachelY 51039 1.66130119 -1.22726122 95.185547 -70.316888
    Unten links KachelX 50095 KachelY + 1 51040 1.66120532 -1.22729351 95.180054 -70.318738
    Unten rechts KachelX + 1 50096 KachelY + 1 51040 1.66130119 -1.22729351 95.185547 -70.318738
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22726122--1.22729351) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dl = 205.719590000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22726122--1.22729351) × R
    3.22900000000459e-05 × 6371000     		dr = 205.719590000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66120532-1.66130119) × cos(-1.22726122) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336817739834722 × 6371000     		do = 205.724156210086m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66120532-1.66130119) × cos(-1.22729351) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336787336368205 × 6371000     		du = 205.705586144571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22726122)-sin(-1.22729351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336817739834722-0.336787336368205)×R²
    abs(1.66130119-1.66120532)×3.04034665168373e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04034665168373e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04034665168373e-05×40589641000000     		ar = 42319.5789593094m²