Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50094 / 51031
↖ ↑ ↗
← S 70.302081°
E 95.174561°		 ← 205.87 m → S 70.302081°
E 95.180054°		 →
↑
205.91 m
↓
↑
205.91 m
↓
S 70.303933°
E 95.174561°		 ← 205.85 m →
42 389 m²		 S 70.303933°
E 95.180054°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51031 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764381408691406 y=0.778678894042969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764381408691406 × 216)
    floor (0.764381408691406 × 65536)
    floor (50094.5)     		tx = 50094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778678894042969 × 216)
    floor (0.778678894042969 × 65536)
    floor (51031.5)     		ty = 51031
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50094 / 51031 ti = "16/50094/51031"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50094/51031.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50094 ÷ 216
    50094 ÷ 65536     		x = 0.764373779296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51031 ÷ 216
    51031 ÷ 65536     		y = 0.778671264648438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764373779296875 × 2 - 1) × π
    0.52874755859375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66110945
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778671264648438 × 2 - 1) × π
    -0.557342529296875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75094319552217
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66110945} λ = 1.66110945}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75094319552217))-π/2
    2×atan(0.173610117917013)-π/2
    2×0.171896767161228-π/2
    0.343793534322457-1.57079632675     		φ = -1.22700279
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66110945} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.174561°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22700279 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.302081°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50094 KachelY 51031 1.66110945 -1.22700279 95.174561 -70.302081
    Oben rechts KachelX + 1 50095 KachelY 51031 1.66120532 -1.22700279 95.180054 -70.302081
    Unten links KachelX 50094 KachelY + 1 51032 1.66110945 -1.22703511 95.174561 -70.303933
    Unten rechts KachelX + 1 50095 KachelY + 1 51032 1.66120532 -1.22703511 95.180054 -70.303933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22700279--1.22703511) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dl = 205.910720000545m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22700279--1.22703511) × R
    3.23200000000856e-05 × 6371000     		dr = 205.910720000545m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66110945-1.66120532) × cos(-1.22700279) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337061058484785 × 6371000     		do = 205.872772265757m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66110945-1.66120532) × cos(-1.22703511) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.337030629584991 × 6371000     		du = 205.854186665908m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22700279)-sin(-1.22703511))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337061058484785-0.337030629584991)×R²
    abs(1.66120532-1.66110945)×3.04288997942104e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.04288997942104e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.04288997942104e-05×40589641000000     		ar = 42389.4972821384m²