Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50093 / 48687
↖ ↑ ↗
← S 65.474227°
E 95.169067°		 ← 253.57 m → S 65.474227°
E 95.174561°		 →
↑
253.57 m
↓
↑
253.57 m
↓
S 65.476508°
E 95.169067°		 ← 253.54 m →
64 293 m²		 S 65.476508°
E 95.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48687 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764366149902344 y=0.742912292480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764366149902344 × 216)
    floor (0.764366149902344 × 65536)
    floor (50093.5)     		tx = 50093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742912292480469 × 216)
    floor (0.742912292480469 × 65536)
    floor (48687.5)     		ty = 48687
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50093 / 48687 ti = "16/50093/48687"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50093/48687.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50093 ÷ 216
    50093 ÷ 65536     		x = 0.764358520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48687 ÷ 216
    48687 ÷ 65536     		y = 0.742904663085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764358520507812 × 2 - 1) × π
    0.528717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66101357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742904663085938 × 2 - 1) × π
    -0.485809326171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52621501010335
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66101357} λ = 1.66101357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52621501010335))-π/2
    2×atan(0.217356805648898)-π/2
    2×0.21402774142949-π/2
    0.42805548285898-1.57079632675     		φ = -1.14274084
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66101357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.169067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14274084 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.474227°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50093 KachelY 48687 1.66101357 -1.14274084 95.169067 -65.474227
    Oben rechts KachelX + 1 50094 KachelY 48687 1.66110945 -1.14274084 95.174561 -65.474227
    Unten links KachelX 50093 KachelY + 1 48688 1.66101357 -1.14278064 95.169067 -65.476508
    Unten rechts KachelX + 1 50094 KachelY + 1 48688 1.66110945 -1.14278064 95.174561 -65.476508
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14274084--1.14278064) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dl = 253.565799999511m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14274084--1.14278064) × R
    3.97999999999232e-05 × 6371000     		dr = 253.565799999511m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66101357-1.66110945) × cos(-1.14274084) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.415102519518402 × 6371000     		do = 253.565988399966m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66101357-1.66110945) × cos(-1.14278064) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.415066310158911 × 6371000     		du = 253.543869859131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14274084)-sin(-1.14278064))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.415102519518402-0.415066310158911)×R²
    abs(1.66110945-1.66101357)×3.62093594910018e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.62093594910018e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.62093594910018e-05×40589641000000     		ar = 64292.8584568105m²