Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50093 / 48409
↖ ↑ ↗
← S 64.832590°
E 95.169067°		 ← 259.77 m → S 64.832590°
E 95.174561°		 →
↑
259.75 m
↓
↑
259.75 m
↓
S 64.834926°
E 95.169067°		 ← 259.75 m →
67 472 m²		 S 64.834926°
E 95.174561°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50093 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764366149902344 y=0.738670349121094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764366149902344 × 216)
    floor (0.764366149902344 × 65536)
    floor (50093.5)     		tx = 50093
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738670349121094 × 216)
    floor (0.738670349121094 × 65536)
    floor (48409.5)     		ty = 48409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50093 / 48409 ti = "16/50093/48409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50093/48409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50093 ÷ 216
    50093 ÷ 65536     		x = 0.764358520507812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48409 ÷ 216
    48409 ÷ 65536     		y = 0.738662719726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764358520507812 × 2 - 1) × π
    0.528717041015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.66101357
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738662719726562 × 2 - 1) × π
    -0.477325439453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.4995620939146
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66101357} λ = 1.66101357}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.4995620939146))-π/2
    2×atan(0.223227891600433)-π/2
    2×0.219627085290662-π/2
    0.439254170581324-1.57079632675     		φ = -1.13154216
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66101357} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.169067°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13154216 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.832590°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50093 KachelY 48409 1.66101357 -1.13154216 95.169067 -64.832590
    Oben rechts KachelX + 1 50094 KachelY 48409 1.66110945 -1.13154216 95.174561 -64.832590
    Unten links KachelX 50093 KachelY + 1 48410 1.66101357 -1.13158293 95.169067 -64.834926
    Unten rechts KachelX + 1 50094 KachelY + 1 48410 1.66110945 -1.13158293 95.174561 -64.834926
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13154216--1.13158293) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dl = 259.745670000148m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13154216--1.13158293) × R
    4.07700000000233e-05 × 6371000     		dr = 259.745670000148m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66101357-1.66110945) × cos(-1.13154216) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.425264552827694 × 6371000     		do = 259.773481486766m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66101357-1.66110945) × cos(-1.13158293) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.425227652807414 × 6371000     		du = 259.750941054766m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13154216)-sin(-1.13158293))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425264552827694-0.425227652807414)×R²
    abs(1.66110945-1.66101357)×3.69000202797842e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.69000202797842e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.69000202797842e-05×40589641000000     		ar = 67472.1096166761m²