Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50092 / 58417
↖ ↑ ↗
← N 19.184083°
W 42.418213°		 ← 288.46 m → N 19.184083°
W 42.415466°		 →
↑
288.42 m
↓
↑
288.42 m
↓
N 19.181490°
W 42.418213°		 ← 288.47 m →
83 198 m²		 N 19.181490°
W 42.415466°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58417 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382175445556641 y=0.445690155029297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382175445556641 × 217)
    floor (0.382175445556641 × 131072)
    floor (50092.5)     		tx = 50092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445690155029297 × 217)
    floor (0.445690155029297 × 131072)
    floor (58417.5)     		ty = 58417
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50092 / 58417 ti = "17/50092/58417"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50092/58417.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50092 ÷ 217
    50092 ÷ 131072     		x = 0.382171630859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58417 ÷ 217
    58417 ÷ 131072     		y = 0.445686340332031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382171630859375 × 2 - 1) × π
    -0.23565673828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.74033748
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445686340332031 × 2 - 1) × π
    0.108627319335938 × 3.1415926535     		Φ = 0.34126278839518
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74033748} λ = -0.74033748}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34126278839518))-π/2
    2×atan(1.40672286273743)-π/2
    2×0.952810875318872-π/2
    1.90562175063774-1.57079632675     		φ = 0.33482542
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74033748} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.418213°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33482542 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.184083°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50092 KachelY 58417 -0.74033748 0.33482542 -42.418213 19.184083
    Oben rechts KachelX + 1 50093 KachelY 58417 -0.74028954 0.33482542 -42.415466 19.184083
    Unten links KachelX 50092 KachelY + 1 58418 -0.74033748 0.33478015 -42.418213 19.181490
    Unten rechts KachelX + 1 50093 KachelY + 1 58418 -0.74028954 0.33478015 -42.415466 19.181490
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33482542-0.33478015) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dl = 288.415169999912m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33482542-0.33478015) × R
    4.52699999999862e-05 × 6371000     		dr = 288.415169999912m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74033748--0.74028954) × cos(0.33482542) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944467691762076 × 6371000     		do = 288.464743662335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74033748--0.74028954) × cos(0.33478015) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944482566710483 × 6371000     		du = 288.469286854459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33482542)-sin(0.33478015))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944467691762076-0.944482566710483)×R²
    abs(-0.74028954--0.74033748)×1.48749484069066e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48749484069066e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48749484069066e-05×40589641000000     		ar = 83198.2632593632m²