Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50092 / 48662
↖ ↑ ↗
← S 65.417159°
E 95.163574°		 ← 254.09 m → S 65.417159°
E 95.169067°		 →
↑
254.08 m
↓
↑
254.08 m
↓
S 65.419444°
E 95.163574°		 ← 254.07 m →
64 556 m²		 S 65.419444°
E 95.169067°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48662 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764350891113281 y=0.742530822753906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764350891113281 × 216)
    floor (0.764350891113281 × 65536)
    floor (50092.5)     		tx = 50092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.742530822753906 × 216)
    floor (0.742530822753906 × 65536)
    floor (48662.5)     		ty = 48662
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50092 / 48662 ti = "16/50092/48662"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50092/48662.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50092 ÷ 216
    50092 ÷ 65536     		x = 0.76434326171875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48662 ÷ 216
    48662 ÷ 65536     		y = 0.742523193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76434326171875 × 2 - 1) × π
    0.5286865234375 × 3.1415926535     		Λ = 1.66091770
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.742523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.48504638671875 × 3.1415926535     		Φ = -1.52381816512235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66091770} λ = 1.66091770}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.52381816512235))-π/2
    2×atan(0.217878401059567)-π/2
    2×0.214525752319391-π/2
    0.429051504638782-1.57079632675     		φ = -1.14174482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66091770} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.163574°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.14174482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.417159°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50092 KachelY 48662 1.66091770 -1.14174482 95.163574 -65.417159
    Oben rechts KachelX + 1 50093 KachelY 48662 1.66101357 -1.14174482 95.169067 -65.417159
    Unten links KachelX 50092 KachelY + 1 48663 1.66091770 -1.14178470 95.163574 -65.419444
    Unten rechts KachelX + 1 50093 KachelY + 1 48663 1.66101357 -1.14178470 95.169067 -65.419444
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.14174482--1.14178470) × R
    3.98800000001032e-05 × 6371000     		dl = 254.075480000657m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.14174482--1.14178470) × R
    3.98800000001032e-05 × 6371000     		dr = 254.075480000657m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66091770-1.66101357) × cos(-1.14174482) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.416008467204566 × 6371000     		do = 254.092883984989m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66091770-1.66101357) × cos(-1.14178470) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.415972201567457 × 6371000     		du = 254.070733377372m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.14174482)-sin(-1.14178470))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.416008467204566-0.415972201567457)×R²
    abs(1.66101357-1.66091770)×3.62656371093451e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.62656371093451e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.62656371093451e-05×40589641000000     		ar = 64555.9575086392m²