Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 50090 / 58264
↖ ↑ ↗
← N 19.580493°
W 42.423706°		 ← 287.76 m → N 19.580493°
W 42.420959°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.577906°
W 42.423706°		 ← 287.77 m →
82 794 m²		 N 19.577906°
W 42.420959°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50090 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382160186767578 y=0.444522857666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382160186767578 × 217)
    floor (0.382160186767578 × 131072)
    floor (50090.5)     		tx = 50090
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444522857666016 × 217)
    floor (0.444522857666016 × 131072)
    floor (58264.5)     		ty = 58264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50090 / 58264 ti = "17/50090/58264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50090/58264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50090 ÷ 217
    50090 ÷ 131072     		x = 0.382156372070312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58264 ÷ 217
    58264 ÷ 131072     		y = 0.44451904296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382156372070312 × 2 - 1) × π
    -0.235687255859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74043335
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44451904296875 × 2 - 1) × π
    0.1109619140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.348597134037048
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74043335} λ = -0.74043335}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.348597134037048))-π/2
    2×atan(1.41707818276327)-π/2
    2×0.956270203581437-π/2
    1.91254040716287-1.57079632675     		φ = 0.34174408
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74043335} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.423706°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34174408 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.580493°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50090 KachelY 58264 -0.74043335 0.34174408 -42.423706 19.580493
    Oben rechts KachelX + 1 50091 KachelY 58264 -0.74038541 0.34174408 -42.420959 19.580493
    Unten links KachelX 50090 KachelY + 1 58265 -0.74043335 0.34169892 -42.423706 19.577906
    Unten rechts KachelX + 1 50091 KachelY + 1 58265 -0.74038541 0.34169892 -42.420959 19.577906
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34174408-0.34169892) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34174408-0.34169892) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74043335--0.74038541) × cos(0.34174408) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.942171603813253 × 6371000     		do = 287.763459301461m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74043335--0.74038541) × cos(0.34169892) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.9421867373605 × 6371000     		du = 287.768081476328m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34174408)-sin(0.34169892))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.942171603813253-0.9421867373605)×R²
    abs(-0.74038541--0.74043335)×1.5133547246915e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.5133547246915e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.5133547246915e-05×40589641000000     		ar = 82794.344471364m²