Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50089 / 58247
↖ ↑ ↗
← N 19.624479°
W 42.426453°		 ← 287.68 m → N 19.624479°
W 42.423706°		 →
↑
287.71 m
↓
↑
287.71 m
↓
N 19.621892°
W 42.426453°		 ← 287.69 m →
82 772 m²		 N 19.621892°
W 42.423706°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58247 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382152557373047 y=0.444393157958984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382152557373047 × 217)
    floor (0.382152557373047 × 131072)
    floor (50089.5)     		tx = 50089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444393157958984 × 217)
    floor (0.444393157958984 × 131072)
    floor (58247.5)     		ty = 58247
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50089 / 58247 ti = "17/50089/58247"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50089/58247.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50089 ÷ 217
    50089 ÷ 131072     		x = 0.382148742675781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58247 ÷ 217
    58247 ÷ 131072     		y = 0.444389343261719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382148742675781 × 2 - 1) × π
    -0.235702514648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.74048129
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444389343261719 × 2 - 1) × π
    0.111221313476562 × 3.1415926535     		Φ = 0.349412061330589
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74048129} λ = -0.74048129}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.349412061330589))-π/2
    2×atan(1.41823346912475)-π/2
    2×0.956654051802995-π/2
    1.91330810360599-1.57079632675     		φ = 0.34251178
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74048129} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.426453°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34251178 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.624479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50089 KachelY 58247 -0.74048129 0.34251178 -42.426453 19.624479
    Oben rechts KachelX + 1 50090 KachelY 58247 -0.74043335 0.34251178 -42.423706 19.624479
    Unten links KachelX 50089 KachelY + 1 58248 -0.74048129 0.34246662 -42.426453 19.621892
    Unten rechts KachelX + 1 50090 KachelY + 1 58248 -0.74043335 0.34246662 -42.423706 19.621892
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34251178-0.34246662) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dl = 287.714359999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34251178-0.34246662) × R
    4.51599999999885e-05 × 6371000     		dr = 287.714359999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74048129--0.74043335) × cos(0.34251178) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941914046264535 × 6371000     		do = 287.684794596551m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74048129--0.74043335) × cos(0.34246662) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.941929212472042 × 6371000     		du = 287.689426746702m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34251178)-sin(0.34246662))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941914046264535-0.941929212472042)×R²
    abs(-0.74043335--0.74048129)×1.51662075067449e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.51662075067449e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.51662075067449e-05×40589641000000     		ar = 82771.7129412082m²