Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50089 / 48375
↖ ↑ ↗
← S 64.753047°
E 95.147095°		 ← 260.51 m → S 64.753047°
E 95.152588°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
S 64.755390°
E 95.147095°		 ← 260.49 m →
67 864 m²		 S 64.755390°
E 95.152588°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50089 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48375 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764305114746094 y=0.738151550292969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764305114746094 × 216)
    floor (0.764305114746094 × 65536)
    floor (50089.5)     		tx = 50089
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738151550292969 × 216)
    floor (0.738151550292969 × 65536)
    floor (48375.5)     		ty = 48375
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50089 / 48375 ti = "16/50089/48375"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50089/48375.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50089 ÷ 216
    50089 ÷ 65536     		x = 0.764297485351562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48375 ÷ 216
    48375 ÷ 65536     		y = 0.738143920898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764297485351562 × 2 - 1) × π
    0.528594970703125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66063008
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738143920898438 × 2 - 1) × π
    -0.476287841796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49630238474043
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66063008} λ = 1.66063008}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49630238474043))-π/2
    2×atan(0.223956736873048)-π/2
    2×0.22032122790372-π/2
    0.440642455807441-1.57079632675     		φ = -1.13015387
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66063008} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.147095°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13015387 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.753047°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50089 KachelY 48375 1.66063008 -1.13015387 95.147095 -64.753047
    Oben rechts KachelX + 1 50090 KachelY 48375 1.66072595 -1.13015387 95.152588 -64.753047
    Unten links KachelX 50089 KachelY + 1 48376 1.66063008 -1.13019476 95.147095 -64.755390
    Unten rechts KachelX + 1 50090 KachelY + 1 48376 1.66072595 -1.13019476 95.152588 -64.755390
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13015387--1.13019476) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13015387--1.13019476) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66063008-1.66072595) × cos(-1.13015387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		do = 260.513591160899m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66063008-1.66072595) × cos(-1.13019476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426483656521353 × 6371000     		du = 260.491001508118m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13015387)-sin(-1.13019476))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426520640976333-0.426483656521353)×R²
    abs(1.66072595-1.66063008)×3.69844549795717e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69844549795717e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69844549795717e-05×40589641000000     		ar = 67863.5027227856m²