Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50088 / 48410
↖ ↑ ↗
← S 64.834926°
E 95.141601°		 ← 259.75 m → S 64.834926°
E 95.147095°		 →
↑
259.68 m
↓
↑
259.68 m
↓
S 64.837261°
E 95.141601°		 ← 259.73 m →
67 450 m²		 S 64.837261°
E 95.147095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48410 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764289855957031 y=0.738685607910156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764289855957031 × 216)
    floor (0.764289855957031 × 65536)
    floor (50088.5)     		tx = 50088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738685607910156 × 216)
    floor (0.738685607910156 × 65536)
    floor (48410.5)     		ty = 48410
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50088 / 48410 ti = "16/50088/48410"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50088/48410.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50088 ÷ 216
    50088 ÷ 65536     		x = 0.7642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48410 ÷ 216
    48410 ÷ 65536     		y = 0.738677978515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    0.528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66053420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738677978515625 × 2 - 1) × π
    -0.47735595703125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49965796771384
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66053420} λ = 1.66053420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49965796771384))-π/2
    2×atan(0.223206490920267)-π/2
    2×0.219606700310762-π/2
    0.439213400621525-1.57079632675     		φ = -1.13158293
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66053420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.141601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13158293 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.834926°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50088 KachelY 48410 1.66053420 -1.13158293 95.141601 -64.834926
    Oben rechts KachelX + 1 50089 KachelY 48410 1.66063008 -1.13158293 95.147095 -64.834926
    Unten links KachelX 50088 KachelY + 1 48411 1.66053420 -1.13162369 95.141601 -64.837261
    Unten rechts KachelX + 1 50089 KachelY + 1 48411 1.66063008 -1.13162369 95.147095 -64.837261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13158293--1.13162369) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dl = 259.681960000536m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13158293--1.13162369) × R
    4.07600000000841e-05 × 6371000     		dr = 259.681960000536m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66053420-1.66063008) × cos(-1.13158293) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.425227652807414 × 6371000     		do = 259.750941054165m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66053420-1.66063008) × cos(-1.13162369) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.425190761131361 × 6371000     		du = 259.728405719248m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13158293)-sin(-1.13162369))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.425227652807414-0.425190761131361)×R²
    abs(1.66063008-1.66053420)×3.68916760525861e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.68916760525861e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.68916760525861e-05×40589641000000     		ar = 67449.7074840829m²