Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50088 / 48377
↖ ↑ ↗
← S 64.757733°
E 95.141601°		 ← 260.50 m → S 64.757733°
E 95.147095°		 →
↑
260.45 m
↓
↑
260.45 m
↓
S 64.760075°
E 95.141601°		 ← 260.47 m →
67 842 m²		 S 64.760075°
E 95.147095°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48377 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764289855957031 y=0.738182067871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764289855957031 × 216)
    floor (0.764289855957031 × 65536)
    floor (50088.5)     		tx = 50088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738182067871094 × 216)
    floor (0.738182067871094 × 65536)
    floor (48377.5)     		ty = 48377
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50088 / 48377 ti = "16/50088/48377"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50088/48377.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50088 ÷ 216
    50088 ÷ 65536     		x = 0.7642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48377 ÷ 216
    48377 ÷ 65536     		y = 0.738174438476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7642822265625 × 2 - 1) × π
    0.528564453125 × 3.1415926535     		Λ = 1.66053420
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738174438476562 × 2 - 1) × π
    -0.476348876953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.49649413233891
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66053420} λ = 1.66053420}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49649413233891))-π/2
    2×atan(0.223913797823451)-π/2
    2×0.220280339295335-π/2
    0.440560678590669-1.57079632675     		φ = -1.13023565
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66053420} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.141601°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13023565 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.757733°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50088 KachelY 48377 1.66053420 -1.13023565 95.141601 -64.757733
    Oben rechts KachelX + 1 50089 KachelY 48377 1.66063008 -1.13023565 95.147095 -64.757733
    Unten links KachelX 50088 KachelY + 1 48378 1.66053420 -1.13027653 95.141601 -64.760075
    Unten rechts KachelX + 1 50089 KachelY + 1 48378 1.66063008 -1.13027653 95.147095 -64.760075
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13023565--1.13027653) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dl = 260.446480000133m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13023565--1.13027653) × R
    4.08800000000209e-05 × 6371000     		dr = 260.446480000133m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66053420-1.66063008) × cos(-1.13023565) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.426446671353296 × 6371000     		do = 260.495580337064m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66053420-1.66063008) × cos(-1.13027653) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.426409694517525 × 6371000     		du = 260.472992982207m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13023565)-sin(-1.13027653))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426446671353296-0.426409694517525)×R²
    abs(1.66063008-1.66053420)×3.69768357709743e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.69768357709743e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.69768357709743e-05×40589641000000     		ar = 67842.2155650561m²