Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50087 / 58423
↖ ↑ ↗
← N 19.168518°
W 42.431946°		 ← 288.43 m → N 19.168518°
W 42.429199°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.165924°
W 42.431946°		 ← 288.44 m →
83 207 m²		 N 19.165924°
W 42.429199°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58423 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382137298583984 y=0.445735931396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382137298583984 × 217)
    floor (0.382137298583984 × 131072)
    floor (50087.5)     		tx = 50087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445735931396484 × 217)
    floor (0.445735931396484 × 131072)
    floor (58423.5)     		ty = 58423
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50087 / 58423 ti = "17/50087/58423"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50087/58423.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50087 ÷ 217
    50087 ÷ 131072     		x = 0.382133483886719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58423 ÷ 217
    58423 ÷ 131072     		y = 0.445732116699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382133483886719 × 2 - 1) × π
    -0.235733032226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.74057716
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445732116699219 × 2 - 1) × π
    0.108535766601562 × 3.1415926535     		Φ = 0.340975166997459
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74057716} λ = -0.74057716}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340975166997459))-π/2
    2×atan(1.4063183173222)-π/2
    2×0.952675044343083-π/2
    1.90535008868617-1.57079632675     		φ = 0.33455376
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74057716} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.431946°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33455376 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.168518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50087 KachelY 58423 -0.74057716 0.33455376 -42.431946 19.168518
    Oben rechts KachelX + 1 50088 KachelY 58423 -0.74052923 0.33455376 -42.429199 19.168518
    Unten links KachelX 50087 KachelY + 1 58424 -0.74057716 0.33450848 -42.431946 19.165924
    Unten rechts KachelX + 1 50088 KachelY + 1 58424 -0.74052923 0.33450848 -42.429199 19.165924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33455376-0.33450848) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33455376-0.33450848) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74057716--0.74052923) × cos(0.33455376) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.944556925551863 × 6371000     		do = 288.431820236584m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74057716--0.74052923) × cos(0.33450848) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.94457179216757 × 6371000     		du = 288.436359936536m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33455376)-sin(0.33450848))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944556925551863-0.94457179216757)×R²
    abs(-0.74052923--0.74057716)×1.48666157070432e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.48666157070432e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.48666157070432e-05×40589641000000     		ar = 83207.1432761598m²