Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50087 / 51041
↖ ↑ ↗
← S 70.320588°
E 95.136108°		 ← 205.69 m → S 70.320588°
E 95.141601°		 →
↑
205.66 m
↓
↑
205.66 m
↓
S 70.322438°
E 95.136108°		 ← 205.67 m →
42 299 m²		 S 70.322438°
E 95.141601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51041 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764274597167969 y=0.778831481933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764274597167969 × 216)
    floor (0.764274597167969 × 65536)
    floor (50087.5)     		tx = 50087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778831481933594 × 216)
    floor (0.778831481933594 × 65536)
    floor (51041.5)     		ty = 51041
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50087 / 51041 ti = "16/50087/51041"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50087/51041.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50087 ÷ 216
    50087 ÷ 65536     		x = 0.764266967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51041 ÷ 216
    51041 ÷ 65536     		y = 0.778823852539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764266967773438 × 2 - 1) × π
    0.528533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66043833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.778823852539062 × 2 - 1) × π
    -0.557647705078125 × 3.1415926535     		Φ = -1.75190193351457
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66043833} λ = 1.66043833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75190193351457))-π/2
    2×atan(0.173443751064955)-π/2
    2×0.171735263444335-π/2
    0.343470526888671-1.57079632675     		φ = -1.22732580
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66043833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.136108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22732580 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.320588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50087 KachelY 51041 1.66043833 -1.22732580 95.136108 -70.320588
    Oben rechts KachelX + 1 50088 KachelY 51041 1.66053420 -1.22732580 95.141601 -70.320588
    Unten links KachelX 50087 KachelY + 1 51042 1.66043833 -1.22735808 95.136108 -70.322438
    Unten rechts KachelX + 1 50088 KachelY + 1 51042 1.66053420 -1.22735808 95.141601 -70.322438
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22732580--1.22735808) × R
    3.22799999998846e-05 × 6371000     		dl = 205.655879999265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22732580--1.22735808) × R
    3.22799999998846e-05 × 6371000     		dr = 205.655879999265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66043833-1.66053420) × cos(-1.22732580) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336756932550539 × 6371000     		do = 205.68701586458m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66043833-1.66053420) × cos(-1.22735808) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.33672653779778 × 6371000     		du = 205.668451121323m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22732580)-sin(-1.22735808))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336756932550539-0.33672653779778)×R²
    abs(1.66053420-1.66043833)×3.03947527587889e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03947527587889e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03947527587889e-05×40589641000000     		ar = 42298.835281382m²