Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50087 / 48376
↖ ↑ ↗
← S 64.755390°
E 95.136108°		 ← 260.49 m → S 64.755390°
E 95.141601°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
S 64.757733°
E 95.136108°		 ← 260.47 m →
67 858 m²		 S 64.757733°
E 95.141601°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48376 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764274597167969 y=0.738166809082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764274597167969 × 216)
    floor (0.764274597167969 × 65536)
    floor (50087.5)     		tx = 50087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738166809082031 × 216)
    floor (0.738166809082031 × 65536)
    floor (48376.5)     		ty = 48376
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50087 / 48376 ti = "16/50087/48376"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50087/48376.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50087 ÷ 216
    50087 ÷ 65536     		x = 0.764266967773438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48376 ÷ 216
    48376 ÷ 65536     		y = 0.7381591796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764266967773438 × 2 - 1) × π
    0.528533935546875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66043833
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7381591796875 × 2 - 1) × π
    -0.476318359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.49639825853967
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66043833} λ = 1.66043833}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49639825853967))-π/2
    2×atan(0.223935266319067)-π/2
    2×0.220300782713089-π/2
    0.440601565426178-1.57079632675     		φ = -1.13019476
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66043833} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.136108°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13019476 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.755390°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50087 KachelY 48376 1.66043833 -1.13019476 95.136108 -64.755390
    Oben rechts KachelX + 1 50088 KachelY 48376 1.66053420 -1.13019476 95.141601 -64.755390
    Unten links KachelX 50087 KachelY + 1 48377 1.66043833 -1.13023565 95.136108 -64.757733
    Unten rechts KachelX + 1 50088 KachelY + 1 48377 1.66053420 -1.13023565 95.141601 -64.757733
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13019476--1.13023565) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13019476--1.13023565) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66043833-1.66053420) × cos(-1.13019476) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426483656521353 × 6371000     		do = 260.491001508118m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66043833-1.66053420) × cos(-1.13023565) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426446671353296 × 6371000     		du = 260.468411419797m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13019476)-sin(-1.13023565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426483656521353-0.426446671353296)×R²
    abs(1.66053420-1.66043833)×3.69851680568356e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69851680568356e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69851680568356e-05×40589641000000     		ar = 67857.6178317414m²