Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50086 / 48374
↖ ↑ ↗
← S 64.750704°
E 95.130616°		 ← 260.54 m → S 64.750704°
E 95.136108°		 →
↑
260.51 m
↓
↑
260.51 m
↓
S 64.753047°
E 95.130616°		 ← 260.51 m →
67 869 m²		 S 64.753047°
E 95.136108°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48374 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764259338378906 y=0.738136291503906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764259338378906 × 216)
    floor (0.764259338378906 × 65536)
    floor (50086.5)     		tx = 50086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.738136291503906 × 216)
    floor (0.738136291503906 × 65536)
    floor (48374.5)     		ty = 48374
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50086 / 48374 ti = "16/50086/48374"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50086/48374.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50086 ÷ 216
    50086 ÷ 65536     		x = 0.764251708984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48374 ÷ 216
    48374 ÷ 65536     		y = 0.738128662109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764251708984375 × 2 - 1) × π
    0.52850341796875 × 3.1415926535     		Λ = 1.66034246
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.738128662109375 × 2 - 1) × π
    -0.47625732421875 × 3.1415926535     		Φ = -1.49620651094119
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.66034246} λ = 1.66034246}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49620651094119))-π/2
    2×atan(0.223978209485592)-π/2
    2×0.220341674867348-π/2
    0.440683349734696-1.57079632675     		φ = -1.13011298
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.66034246} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.130616°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13011298 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.750704°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50086 KachelY 48374 1.66034246 -1.13011298 95.130616 -64.750704
    Oben rechts KachelX + 1 50087 KachelY 48374 1.66043833 -1.13011298 95.136108 -64.750704
    Unten links KachelX 50086 KachelY + 1 48375 1.66034246 -1.13015387 95.130616 -64.753047
    Unten rechts KachelX + 1 50087 KachelY + 1 48375 1.66043833 -1.13015387 95.136108 -64.753047
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13011298--1.13015387) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dl = 260.510189999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13011298--1.13015387) × R
    4.08899999999601e-05 × 6371000     		dr = 260.510189999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.66034246-1.66043833) × cos(-1.13011298) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426557624718173 × 6371000     		do = 260.536180378104m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.66034246-1.66043833) × cos(-1.13015387) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.426520640976333 × 6371000     		du = 260.513591160899m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13011298)-sin(-1.13015387))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.426557624718173-0.426520640976333)×R²
    abs(1.66043833-1.66034246)×3.69837418404129e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.69837418404129e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.69837418404129e-05×40589641000000     		ar = 67869.3875010714m²