Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50085 / 58424
↖ ↑ ↗
← N 19.165924°
W 42.437439°		 ← 288.50 m → N 19.165924°
W 42.434692°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.163330°
W 42.437439°		 ← 288.50 m →
83 226 m²		 N 19.163330°
W 42.434692°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382122039794922 y=0.445743560791016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382122039794922 × 217)
    floor (0.382122039794922 × 131072)
    floor (50085.5)     		tx = 50085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445743560791016 × 217)
    floor (0.445743560791016 × 131072)
    floor (58424.5)     		ty = 58424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50085 / 58424 ti = "17/50085/58424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50085/58424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50085 ÷ 217
    50085 ÷ 131072     		x = 0.382118225097656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58424 ÷ 217
    58424 ÷ 131072     		y = 0.44573974609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382118225097656 × 2 - 1) × π
    -0.235763549804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.74067304
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.44573974609375 × 2 - 1) × π
    0.1085205078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.340927230097839
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74067304} λ = -0.74067304}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340927230097839))-π/2
    2×atan(1.40625090439798)-π/2
    2×0.952652404599669-π/2
    1.90530480919934-1.57079632675     		φ = 0.33450848
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74067304} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.437439°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33450848 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.165924°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50085 KachelY 58424 -0.74067304 0.33450848 -42.437439 19.165924
    Oben rechts KachelX + 1 50086 KachelY 58424 -0.74062510 0.33450848 -42.434692 19.165924
    Unten links KachelX 50085 KachelY + 1 58425 -0.74067304 0.33446320 -42.437439 19.163330
    Unten rechts KachelX + 1 50086 KachelY + 1 58425 -0.74062510 0.33446320 -42.434692 19.163330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33450848-0.33446320) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33450848-0.33446320) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74067304--0.74062510) × cos(0.33450848) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.94457179216757 × 6371000     		do = 288.496538605717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74067304--0.74062510) × cos(0.33446320) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944586656846641 × 6371000     		du = 288.501078661322m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33450848)-sin(0.33446320))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94457179216757-0.944586656846641)×R²
    abs(-0.74062510--0.74067304)×1.48646790717466e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48646790717466e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48646790717466e-05×40589641000000     		ar = 83225.8132100917m²