Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50082 / 84574
↖ ↑ ↗
← S 46.252048°
W 42.445679°		 ← 211.20 m → S 46.252048°
W 42.442932°		 →
↑
211.20 m
↓
↑
211.20 m
↓
S 46.253948°
W 42.445679°		 ← 211.19 m →
44 604 m²		 S 46.253948°
W 42.442932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 84574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382099151611328 y=0.645252227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382099151611328 × 217)
    floor (0.382099151611328 × 131072)
    floor (50082.5)     		tx = 50082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.645252227783203 × 217)
    floor (0.645252227783203 × 131072)
    floor (84574.5)     		ty = 84574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50082 / 84574 ti = "17/50082/84574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50082/84574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50082 ÷ 217
    50082 ÷ 131072     		x = 0.382095336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 84574 ÷ 217
    84574 ÷ 131072     		y = 0.645248413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382095336914062 × 2 - 1) × π
    -0.235809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74081685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.645248413085938 × 2 - 1) × π
    -0.290496826171875 × 3.1415926535     		Φ = -0.912622694966629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74081685} λ = -0.74081685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.912622694966629))-π/2
    2×atan(0.401469908955086)-π/2
    2×0.381772897372149-π/2
    0.763545794744299-1.57079632675     		φ = -0.80725053
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74081685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.445679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.80725053 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -46.252048°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50082 KachelY 84574 -0.74081685 -0.80725053 -42.445679 -46.252048
    Oben rechts KachelX + 1 50083 KachelY 84574 -0.74076891 -0.80725053 -42.442932 -46.252048
    Unten links KachelX 50082 KachelY + 1 84575 -0.74081685 -0.80728368 -42.445679 -46.253948
    Unten rechts KachelX + 1 50083 KachelY + 1 84575 -0.74076891 -0.80728368 -42.442932 -46.253948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.80725053--0.80728368) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dl = 211.19864999953m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.80725053--0.80728368) × R
    3.31499999999263e-05 × 6371000     		dr = 211.19864999953m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74081685--0.74076891) × cos(-0.80725053) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691487230140569 × 6371000     		do = 211.197998966095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74081685--0.74076891) × cos(-0.80728368) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.691463282575758 × 6371000     		du = 211.190684763392m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.80725053)-sin(-0.80728368))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.691487230140569-0.691463282575758)×R²
    abs(-0.74076891--0.74081685)×2.39475648106113e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.39475648106113e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.39475648106113e-05×40589641000000     		ar = 44603.9598934652m²