Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50082 / 58427
↖ ↑ ↗
← N 19.158141°
W 42.445679°		 ← 288.51 m → N 19.158141°
W 42.442932°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.155547°
W 42.445679°		 ← 288.51 m →
83 230 m²		 N 19.155547°
W 42.442932°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50082 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58427 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382099151611328 y=0.445766448974609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382099151611328 × 217)
    floor (0.382099151611328 × 131072)
    floor (50082.5)     		tx = 50082
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445766448974609 × 217)
    floor (0.445766448974609 × 131072)
    floor (58427.5)     		ty = 58427
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50082 / 58427 ti = "17/50082/58427"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50082/58427.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50082 ÷ 217
    50082 ÷ 131072     		x = 0.382095336914062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58427 ÷ 217
    58427 ÷ 131072     		y = 0.445762634277344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382095336914062 × 2 - 1) × π
    -0.235809326171875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74081685
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445762634277344 × 2 - 1) × π
    0.108474731445312 × 3.1415926535     		Φ = 0.340783419398979
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74081685} λ = -0.74081685}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.340783419398979))-π/2
    2×atan(1.40604868501365)-π/2
    2×0.952584483231758-π/2
    1.90516896646352-1.57079632675     		φ = 0.33437264
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74081685} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.445679°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33437264 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.158141°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50082 KachelY 58427 -0.74081685 0.33437264 -42.445679 19.158141
    Oben rechts KachelX + 1 50083 KachelY 58427 -0.74076891 0.33437264 -42.442932 19.158141
    Unten links KachelX 50082 KachelY + 1 58428 -0.74081685 0.33432736 -42.445679 19.155547
    Unten rechts KachelX + 1 50083 KachelY + 1 58428 -0.74076891 0.33432736 -42.442932 19.155547
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33437264-0.33432736) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33437264-0.33432736) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74081685--0.74076891) × cos(0.33437264) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944616380394758 × 6371000     		do = 288.510156998001m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74081685--0.74076891) × cos(0.33432736) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944631239263741 × 6371000     		du = 288.514695279056m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33437264)-sin(0.33432736))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944616380394758-0.944631239263741)×R²
    abs(-0.74076891--0.74081685)×1.48588689835583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48588689835583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48588689835583e-05×40589641000000     		ar = 83229.7415727922m²