Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5008 / 3468
↖ ↑ ↗
← N 71.441171°
W 69.960938°		 ← 777.64 m → N 71.441171°
W 69.938965°		 →
↑
777.77 m
↓
↑
777.77 m
↓
N 71.434176°
W 69.960938°		 ← 777.93 m →
604 938 m²		 N 71.434176°
W 69.938965°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5008 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3468 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305694580078125 y=0.211700439453125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305694580078125 × 214)
    floor (0.305694580078125 × 16384)
    floor (5008.5)     		tx = 5008
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211700439453125 × 214)
    floor (0.211700439453125 × 16384)
    floor (3468.5)     		ty = 3468
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5008 / 3468 ti = "14/5008/3468"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5008/3468.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5008 ÷ 214
    5008 ÷ 16384     		x = 0.3056640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3468 ÷ 214
    3468 ÷ 16384     		y = 0.211669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3056640625 × 2 - 1) × π
    -0.388671875 × 3.1415926535     		Λ = -1.22104871
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.211669921875 × 2 - 1) × π
    0.57666015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.81163131044116
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22104871} λ = -1.22104871}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.81163131044116))-π/2
    2×atan(6.12042360383107)-π/2
    2×1.4088399898104-π/2
    2.8176799796208-1.57079632675     		φ = 1.24688365
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22104871} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.960938°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24688365 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.441171°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5008 KachelY 3468 -1.22104871 1.24688365 -69.960938 71.441171
    Oben rechts KachelX + 1 5009 KachelY 3468 -1.22066521 1.24688365 -69.938965 71.441171
    Unten links KachelX 5008 KachelY + 1 3469 -1.22104871 1.24676157 -69.960938 71.434176
    Unten rechts KachelX + 1 5009 KachelY + 1 3469 -1.22066521 1.24676157 -69.938965 71.434176
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24688365-1.24676157) × R
    0.000122079999999913 × 6371000     		dl = 777.771679999448m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24688365-1.24676157) × R
    0.000122079999999913 × 6371000     		dr = 777.771679999448m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22104871--1.22066521) × cos(1.24688365) × R
    0.000383500000000092 × 0.318278194680013 × 6371000     		do = 777.642270080676m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22104871--1.22066521) × cos(1.24676157) × R
    0.000383500000000092 × 0.318393923825457 × 6371000     		du = 777.925028613564m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24688365)-sin(1.24676157))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318278194680013-0.318393923825457)×R²
    abs(-1.22066521--1.22104871)×0.000115729145444388×R²
    0.000383500000000092×0.000115729145444388×6371000²
    0.000383500000000092×0.000115729145444388×40589641000000     		ar = 604938.09638m²