Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50079 / 50973
↖ ↑ ↗
← S 70.194411°
E 95.092163°		 ← 206.95 m → S 70.194411°
E 95.097656°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
S 70.196272°
E 95.092163°		 ← 206.93 m →
42 823 m²		 S 70.196272°
E 95.097656°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764152526855469 y=0.777793884277344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764152526855469 × 216)
    floor (0.764152526855469 × 65536)
    floor (50079.5)     		tx = 50079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777793884277344 × 216)
    floor (0.777793884277344 × 65536)
    floor (50973.5)     		ty = 50973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50079 / 50973 ti = "16/50079/50973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50079/50973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50079 ÷ 216
    50079 ÷ 65536     		x = 0.764144897460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50973 ÷ 216
    50973 ÷ 65536     		y = 0.777786254882812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764144897460938 × 2 - 1) × π
    0.528289794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.65967134
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777786254882812 × 2 - 1) × π
    -0.555572509765625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74538251516624
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65967134} λ = 1.65967134}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74538251516624))-π/2
    2×atan(0.174578197385033)-π/2
    2×0.172836368401245-π/2
    0.34567273680249-1.57079632675     		φ = -1.22512359
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65967134} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.092163°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22512359 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.194411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50079 KachelY 50973 1.65967134 -1.22512359 95.092163 -70.194411
    Oben rechts KachelX + 1 50080 KachelY 50973 1.65976721 -1.22512359 95.097656 -70.194411
    Unten links KachelX 50079 KachelY + 1 50974 1.65967134 -1.22515607 95.092163 -70.196272
    Unten rechts KachelX + 1 50080 KachelY + 1 50974 1.65976721 -1.22515607 95.097656 -70.196272
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22512359--1.22515607) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22512359--1.22515607) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65967134-1.65976721) × cos(-1.22512359) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338829696754137 × 6371000     		do = 206.953034890231m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65967134-1.65976721) × cos(-1.22515607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338799137841397 × 6371000     		du = 206.934369880065m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22512359)-sin(-1.22515607))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338829696754137-0.338799137841397)×R²
    abs(1.65976721-1.65967134)×3.05589127398975e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05589127398975e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05589127398975e-05×40589641000000     		ar = 42822.8768937233m²