Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50078 / 50975
↖ ↑ ↗
← S 70.198133°
E 95.086670°		 ← 206.94 m → S 70.198133°
E 95.092163°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
S 70.199994°
E 95.086670°		 ← 206.92 m →
42 820 m²		 S 70.199994°
E 95.092163°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764137268066406 y=0.777824401855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764137268066406 × 216)
    floor (0.764137268066406 × 65536)
    floor (50078.5)     		tx = 50078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777824401855469 × 216)
    floor (0.777824401855469 × 65536)
    floor (50975.5)     		ty = 50975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50078 / 50975 ti = "16/50078/50975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50078/50975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50078 ÷ 216
    50078 ÷ 65536     		x = 0.764129638671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50975 ÷ 216
    50975 ÷ 65536     		y = 0.777816772460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764129638671875 × 2 - 1) × π
    0.52825927734375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65957546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777816772460938 × 2 - 1) × π
    -0.555633544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74557426276472
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65957546} λ = 1.65957546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74557426276472))-π/2
    2×atan(0.174544725644103)-π/2
    2×0.172803886440991-π/2
    0.345607772881982-1.57079632675     		φ = -1.22518855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65957546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.086670°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22518855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.198133°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50078 KachelY 50975 1.65957546 -1.22518855 95.086670 -70.198133
    Oben rechts KachelX + 1 50079 KachelY 50975 1.65967134 -1.22518855 95.092163 -70.198133
    Unten links KachelX 50078 KachelY + 1 50976 1.65957546 -1.22522103 95.086670 -70.199994
    Unten rechts KachelX + 1 50079 KachelY + 1 50976 1.65967134 -1.22522103 95.092163 -70.199994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22518855--1.22522103) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22518855--1.22522103) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65957546-1.65967134) × cos(-1.22518855) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.338768578571241 × 6371000     		do = 206.937287598082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65957546-1.65967134) × cos(-1.22522103) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.3387380189437 × 6371000     		du = 206.918620204371m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22518855)-sin(-1.22522103))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338768578571241-0.3387380189437)×R²
    abs(1.65967134-1.65957546)×3.05596275402276e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.05596275402276e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.05596275402276e-05×40589641000000     		ar = 42819.6180587539m²