Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50077 / 50974
↖ ↑ ↗
← S 70.196272°
E 95.081177°		 ← 206.93 m → S 70.196272°
E 95.086670°		 →
↑
206.93 m
↓
↑
206.93 m
↓
S 70.198133°
E 95.081177°		 ← 206.92 m →
42 819 m²		 S 70.198133°
E 95.086670°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764122009277344 y=0.777809143066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764122009277344 × 216)
    floor (0.764122009277344 × 65536)
    floor (50077.5)     		tx = 50077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777809143066406 × 216)
    floor (0.777809143066406 × 65536)
    floor (50974.5)     		ty = 50974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50077 / 50974 ti = "16/50077/50974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50077/50974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50077 ÷ 216
    50077 ÷ 65536     		x = 0.764114379882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50974 ÷ 216
    50974 ÷ 65536     		y = 0.777801513671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764114379882812 × 2 - 1) × π
    0.528228759765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65947959
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777801513671875 × 2 - 1) × π
    -0.55560302734375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74547838896548
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65947959} λ = 1.65947959}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74547838896548))-π/2
    2×atan(0.174561460712303)-π/2
    2×0.17282012668862-π/2
    0.345640253377239-1.57079632675     		φ = -1.22515607
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65947959} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.081177°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22515607 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.196272°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50077 KachelY 50974 1.65947959 -1.22515607 95.081177 -70.196272
    Oben rechts KachelX + 1 50078 KachelY 50974 1.65957546 -1.22515607 95.086670 -70.196272
    Unten links KachelX 50077 KachelY + 1 50975 1.65947959 -1.22518855 95.081177 -70.198133
    Unten rechts KachelX + 1 50078 KachelY + 1 50975 1.65957546 -1.22518855 95.086670 -70.198133
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22515607--1.22518855) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dl = 206.930080000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22515607--1.22518855) × R
    3.24800000000014e-05 × 6371000     		dr = 206.930080000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65947959-1.65957546) × cos(-1.22515607) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338799137841397 × 6371000     		do = 206.934369880065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65947959-1.65957546) × cos(-1.22518855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.338768578571241 × 6371000     		du = 206.915704651593m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22515607)-sin(-1.22518855))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338799137841397-0.338768578571241)×R²
    abs(1.65957546-1.65947959)×3.05592701561608e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.05592701561608e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.05592701561608e-05×40589641000000     		ar = 42819.0145192187m²