Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50075 / 50983
↖ ↑ ↗
← S 70.213015°
E 95.070190°		 ← 206.79 m → S 70.213015°
E 95.075684°		 →
↑
206.80 m
↓
↑
206.80 m
↓
S 70.214875°
E 95.070190°		 ← 206.77 m →
42 762 m²		 S 70.214875°
E 95.075684°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50075 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50983 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.764091491699219 y=0.777946472167969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.764091491699219 × 216)
    floor (0.764091491699219 × 65536)
    floor (50075.5)     		tx = 50075
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777946472167969 × 216)
    floor (0.777946472167969 × 65536)
    floor (50983.5)     		ty = 50983
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50075 / 50983 ti = "16/50075/50983"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50075/50983.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50075 ÷ 216
    50075 ÷ 65536     		x = 0.764083862304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50983 ÷ 216
    50983 ÷ 65536     		y = 0.777938842773438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.764083862304688 × 2 - 1) × π
    0.528167724609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65928784
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.777938842773438 × 2 - 1) × π
    -0.555877685546875 × 3.1415926535     		Φ = -1.74634125315865
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65928784} λ = 1.65928784}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74634125315865))-π/2
    2×atan(0.174410902843186)-π/2
    2×0.172674017186034-π/2
    0.345348034372068-1.57079632675     		φ = -1.22544829
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65928784} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.070190°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22544829 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.213015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50075 KachelY 50983 1.65928784 -1.22544829 95.070190 -70.213015
    Oben rechts KachelX + 1 50076 KachelY 50983 1.65938372 -1.22544829 95.075684 -70.213015
    Unten links KachelX 50075 KachelY + 1 50984 1.65928784 -1.22548075 95.070190 -70.214875
    Unten rechts KachelX + 1 50076 KachelY + 1 50984 1.65938372 -1.22548075 95.075684 -70.214875
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22544829--1.22548075) × R
    3.24599999999009e-05 × 6371000     		dl = 206.802659999369m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22544829--1.22548075) × R
    3.24599999999009e-05 × 6371000     		dr = 206.802659999369m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65928784-1.65938372) × cos(-1.22544829) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338524185642644 × 6371000     		do = 206.787999815468m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65928784-1.65938372) × cos(-1.22548075) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.338493641977666 × 6371000     		du = 206.769342172512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22544829)-sin(-1.22548075))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338524185642644-0.338493641977666)×R²
    abs(1.65938372-1.65928784)×3.05436649787882e-05×R²
    9.58799999999371e-05×3.05436649787882e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×3.05436649787882e-05×40589641000000     		ar = 42762.3791967721m²