Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50074 / 58218
↖ ↑ ↗
← N 19.699486°
W 42.467651°		 ← 287.49 m → N 19.699486°
W 42.464905°		 →
↑
287.52 m
↓
↑
287.52 m
↓
N 19.696900°
W 42.467651°		 ← 287.49 m →
82 661 m²		 N 19.696900°
W 42.464905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58218 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382038116455078 y=0.444171905517578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382038116455078 × 217)
    floor (0.382038116455078 × 131072)
    floor (50074.5)     		tx = 50074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444171905517578 × 217)
    floor (0.444171905517578 × 131072)
    floor (58218.5)     		ty = 58218
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50074 / 58218 ti = "17/50074/58218"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50074/58218.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50074 ÷ 217
    50074 ÷ 131072     		x = 0.382034301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58218 ÷ 217
    58218 ÷ 131072     		y = 0.444168090820312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382034301757812 × 2 - 1) × π
    -0.235931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74120034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444168090820312 × 2 - 1) × π
    0.111663818359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.350802231419571
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74120034} λ = -0.74120034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.350802231419571))-π/2
    2×atan(1.42020642592774)-π/2
    2×0.95730860916705-π/2
    1.9146172183341-1.57079632675     		φ = 0.34382089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74120034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.467651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34382089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.699486°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50074 KachelY 58218 -0.74120034 0.34382089 -42.467651 19.699486
    Oben rechts KachelX + 1 50075 KachelY 58218 -0.74115241 0.34382089 -42.464905 19.699486
    Unten links KachelX 50074 KachelY + 1 58219 -0.74120034 0.34377576 -42.467651 19.696900
    Unten rechts KachelX + 1 50075 KachelY + 1 58219 -0.74115241 0.34377576 -42.464905 19.696900
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34382089-0.34377576) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dl = 287.523230000028m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34382089-0.34377576) × R
    4.51300000000043e-05 × 6371000     		dr = 287.523230000028m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74120034--0.74115241) × cos(0.34382089) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941473569409511 × 6371000     		do = 287.49028034641m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74120034--0.74115241) × cos(0.34377576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941488781178526 × 6371000     		du = 287.494925443076m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34382089)-sin(0.34377576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941473569409511-0.941488781178526)×R²
    abs(-0.74115241--0.74120034)×1.52117690146447e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52117690146447e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52117690146447e-05×40589641000000     		ar = 82660.8017994426m²