Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50074 / 58202
↖ ↑ ↗
← N 19.740854°
W 42.467651°		 ← 287.42 m → N 19.740854°
W 42.464905°		 →
↑
287.46 m
↓
↑
287.46 m
↓
N 19.738269°
W 42.467651°		 ← 287.42 m →
82 621 m²		 N 19.738269°
W 42.464905°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58202 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.382038116455078 y=0.444049835205078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.382038116455078 × 217)
    floor (0.382038116455078 × 131072)
    floor (50074.5)     		tx = 50074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444049835205078 × 217)
    floor (0.444049835205078 × 131072)
    floor (58202.5)     		ty = 58202
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50074 / 58202 ti = "17/50074/58202"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50074/58202.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50074 ÷ 217
    50074 ÷ 131072     		x = 0.382034301757812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58202 ÷ 217
    58202 ÷ 131072     		y = 0.444046020507812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.382034301757812 × 2 - 1) × π
    -0.235931396484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.74120034
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444046020507812 × 2 - 1) × π
    0.111907958984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.351569221813492
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74120034} λ = -0.74120034}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.351569221813492))-π/2
    2×atan(1.42129612845608)-π/2
    2×0.957669613058007-π/2
    1.91533922611601-1.57079632675     		φ = 0.34454290
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74120034} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.467651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34454290 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.740854°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50074 KachelY 58202 -0.74120034 0.34454290 -42.467651 19.740854
    Oben rechts KachelX + 1 50075 KachelY 58202 -0.74115241 0.34454290 -42.464905 19.740854
    Unten links KachelX 50074 KachelY + 1 58203 -0.74120034 0.34449778 -42.467651 19.738269
    Unten rechts KachelX + 1 50075 KachelY + 1 58203 -0.74115241 0.34449778 -42.464905 19.738269
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34454290-0.34449778) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dl = 287.459520000061m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34454290-0.34449778) × R
    4.51200000000096e-05 × 6371000     		dr = 287.459520000061m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74120034--0.74115241) × cos(0.34454290) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941229943987956 × 6371000     		do = 287.415886393124m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74120034--0.74115241) × cos(0.34449778) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.941245183053279 × 6371000     		du = 287.420539825047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34454290)-sin(0.34449778))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941229943987956-0.941245183053279)×R²
    abs(-0.74115241--0.74120034)×1.52390653226364e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.52390653226364e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.52390653226364e-05×40589641000000     		ar = 82621.1015936019m²