Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5007 / 3469
↖ ↑ ↗
← N 71.434176°
W 69.982910°		 ← 777.90 m → N 71.434176°
W 69.960938°		 →
↑
778.03 m
↓
↑
778.03 m
↓
N 71.427179°
W 69.982910°		 ← 778.19 m →
605 341 m²		 N 71.427179°
W 69.960938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5007 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.305633544921875 y=0.211761474609375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.305633544921875 × 214)
    floor (0.305633544921875 × 16384)
    floor (5007.5)     		tx = 5007
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.211761474609375 × 214)
    floor (0.211761474609375 × 16384)
    floor (3469.5)     		ty = 3469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5007 / 3469 ti = "14/5007/3469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5007/3469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5007 ÷ 214
    5007 ÷ 16384     		x = 0.30560302734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3469 ÷ 214
    3469 ÷ 16384     		y = 0.21173095703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.30560302734375 × 2 - 1) × π
    -0.3887939453125 × 3.1415926535     		Λ = -1.22143220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.21173095703125 × 2 - 1) × π
    0.5765380859375 × 3.1415926535     		Φ = 1.8112478152442
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.22143220} λ = -1.22143220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.8112478152442))-π/2
    2×atan(6.11807690077907)-π/2
    2×1.40877894963661-π/2
    2.81755789927321-1.57079632675     		φ = 1.24676157
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.22143220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -69.982910°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.24676157 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.434176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5007 KachelY 3469 -1.22143220 1.24676157 -69.982910 71.434176
    Oben rechts KachelX + 1 5008 KachelY 3469 -1.22104871 1.24676157 -69.960938 71.434176
    Unten links KachelX 5007 KachelY + 1 3470 -1.22143220 1.24663945 -69.982910 71.427179
    Unten rechts KachelX + 1 5008 KachelY + 1 3470 -1.22104871 1.24663945 -69.960938 71.427179
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.24676157-1.24663945) × R
    0.000122120000000114 × 6371000     		dl = 778.026520000729m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.24676157-1.24663945) × R
    0.000122120000000114 × 6371000     		dr = 778.026520000729m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.22143220--1.22104871) × cos(1.24676157) × R
    0.000383489999999931 × 0.318393923825457 × 6371000     		do = 777.90474373635m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.22143220--1.22104871) × cos(1.24663945) × R
    0.000383489999999931 × 0.318509686142494 × 6371000     		du = 778.187575941459m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.24676157)-sin(1.24663945))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.318393923825457-0.318509686142494)×R²
    abs(-1.22104871--1.22143220)×0.00011576231703686×R²
    0.000383489999999931×0.00011576231703686×6371000²
    0.000383489999999931×0.00011576231703686×40589641000000     		ar = 605340.546892265m²