Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50068 / 58243
↖ ↑ ↗
← N 19.634827°
W 42.484131°		 ← 287.61 m → N 19.634827°
W 42.481384°		 →
↑
287.65 m
↓
↑
287.65 m
↓
N 19.632240°
W 42.484131°		 ← 287.61 m →
82 731 m²		 N 19.632240°
W 42.481384°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58243 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381992340087891 y=0.444362640380859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381992340087891 × 217)
    floor (0.381992340087891 × 131072)
    floor (50068.5)     		tx = 50068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.444362640380859 × 217)
    floor (0.444362640380859 × 131072)
    floor (58243.5)     		ty = 58243
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50068 / 58243 ti = "17/50068/58243"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50068/58243.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50068 ÷ 217
    50068 ÷ 131072     		x = 0.381988525390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58243 ÷ 217
    58243 ÷ 131072     		y = 0.444358825683594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381988525390625 × 2 - 1) × π
    -0.23602294921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74148796
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.444358825683594 × 2 - 1) × π
    0.111282348632812 × 3.1415926535     		Φ = 0.34960380892907
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74148796} λ = -0.74148796}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.34960380892907))-π/2
    2×atan(1.4185054380604)-π/2
    2×0.956744353773061-π/2
    1.91348870754612-1.57079632675     		φ = 0.34269238
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74148796} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.484131°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.34269238 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.634827°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50068 KachelY 58243 -0.74148796 0.34269238 -42.484131 19.634827
    Oben rechts KachelX + 1 50069 KachelY 58243 -0.74144003 0.34269238 -42.481384 19.634827
    Unten links KachelX 50068 KachelY + 1 58244 -0.74148796 0.34264723 -42.484131 19.632240
    Unten rechts KachelX + 1 50069 KachelY + 1 58244 -0.74144003 0.34264723 -42.481384 19.632240
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.34269238-0.34264723) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dl = 287.650649999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.34269238-0.34264723) × R
    4.51499999999938e-05 × 6371000     		dr = 287.650649999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74148796--0.74144003) × cos(0.34269238) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.941853375666148 × 6371000     		do = 287.606258755277m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74148796--0.74144003) × cos(0.34264723) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.941868546195806 × 6371000     		du = 287.61089125901m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.34269238)-sin(0.34264723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.941853375666148-0.941868546195806)×R²
    abs(-0.74144003--0.74148796)×1.51705296580484e-05×R²
    4.79299999999183e-05×1.51705296580484e-05×6371000²
    4.79299999999183e-05×1.51705296580484e-05×40589641000000     		ar = 82730.7935603475m²