Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50068 / 50898
↖ ↑ ↗
← S 70.054345°
E 95.031738°		 ← 208.36 m → S 70.054345°
E 95.037231°		 →
↑
208.33 m
↓
↑
208.33 m
↓
S 70.056218°
E 95.031738°		 ← 208.34 m →
43 405 m²		 S 70.056218°
E 95.037231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50898 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763984680175781 y=0.776649475097656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763984680175781 × 216)
    floor (0.763984680175781 × 65536)
    floor (50068.5)     		tx = 50068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776649475097656 × 216)
    floor (0.776649475097656 × 65536)
    floor (50898.5)     		ty = 50898
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50068 / 50898 ti = "16/50068/50898"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50068/50898.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50068 ÷ 216
    50068 ÷ 65536     		x = 0.76397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50898 ÷ 216
    50898 ÷ 65536     		y = 0.776641845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    0.5279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65861673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776641845703125 × 2 - 1) × π
    -0.55328369140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73819198022324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65861673} λ = 1.65861673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73819198022324))-π/2
    2×atan(0.175838032027948)-π/2
    2×0.174058680507172-π/2
    0.348117361014345-1.57079632675     		φ = -1.22267897
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65861673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22267897 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.054345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50068 KachelY 50898 1.65861673 -1.22267897 95.031738 -70.054345
    Oben rechts KachelX + 1 50069 KachelY 50898 1.65871260 -1.22267897 95.037231 -70.054345
    Unten links KachelX 50068 KachelY + 1 50899 1.65861673 -1.22271167 95.031738 -70.056218
    Unten rechts KachelX + 1 50069 KachelY + 1 50899 1.65871260 -1.22271167 95.037231 -70.056218
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22267897--1.22271167) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dl = 208.331699999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22267897--1.22271167) × R
    3.26999999999966e-05 × 6371000     		dr = 208.331699999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65861673-1.65871260) × cos(-1.22267897) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341128697171287 × 6371000     		do = 208.357236228251m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65861673-1.65871260) × cos(-1.22271167) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.341097958446026 × 6371000     		du = 208.338461390796m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22267897)-sin(-1.22271167))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341128697171287-0.341097958446026)×R²
    abs(1.65871260-1.65861673)×3.07387252614921e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.07387252614921e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.07387252614921e-05×40589641000000     		ar = 43405.461537691m²