Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50068 / 50867
↖ ↑ ↗
← S 69.996173°
E 95.031738°		 ← 208.94 m → S 69.996173°
E 95.037231°		 →
↑
208.97 m
↓
↑
208.97 m
↓
S 69.998052°
E 95.031738°		 ← 208.92 m →
43 660 m²		 S 69.998052°
E 95.037231°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 50867 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763984680175781 y=0.776176452636719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763984680175781 × 216)
    floor (0.763984680175781 × 65536)
    floor (50068.5)     		tx = 50068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776176452636719 × 216)
    floor (0.776176452636719 × 65536)
    floor (50867.5)     		ty = 50867
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50068 / 50867 ti = "16/50068/50867"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50068/50867.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50068 ÷ 216
    50068 ÷ 65536     		x = 0.76397705078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 50867 ÷ 216
    50867 ÷ 65536     		y = 0.776168823242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.76397705078125 × 2 - 1) × π
    0.5279541015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65861673
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776168823242188 × 2 - 1) × π
    -0.552337646484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73521989244679
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65861673} λ = 1.65861673}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73521989244679))-π/2
    2×atan(0.176361415479084)-π/2
    2×0.174566321437994-π/2
    0.349132642875988-1.57079632675     		φ = -1.22166368
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65861673} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.031738°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22166368 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.996173°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50068 KachelY 50867 1.65861673 -1.22166368 95.031738 -69.996173
    Oben rechts KachelX + 1 50069 KachelY 50867 1.65871260 -1.22166368 95.037231 -69.996173
    Unten links KachelX 50068 KachelY + 1 50868 1.65861673 -1.22169648 95.031738 -69.998052
    Unten rechts KachelX + 1 50069 KachelY + 1 50868 1.65871260 -1.22169648 95.037231 -69.998052
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22166368--1.22169648) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dl = 208.96880000035m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22166368--1.22169648) × R
    3.2800000000055e-05 × 6371000     		dr = 208.96880000035m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65861673-1.65871260) × cos(-1.22166368) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.342082910643062 × 6371000     		do = 208.94005814678m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65861673-1.65871260) × cos(-1.22169648) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.3420520892905 × 6371000     		du = 208.921232841581m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22166368)-sin(-1.22169648))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342082910643062-0.3420520892905)×R²
    abs(1.65871260-1.65861673)×3.08213525613832e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.08213525613832e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.08213525613832e-05×40589641000000     		ar = 43659.986275895m²