Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50067 / 48333
↖ ↑ ↗
← S 64.654464°
E 95.026245°		 ← 261.49 m → S 64.654464°
E 95.031738°		 →
↑
261.47 m
↓
↑
261.47 m
↓
S 64.656815°
E 95.026245°		 ← 261.47 m →
68 368 m²		 S 64.656815°
E 95.031738°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50067 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48333 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763969421386719 y=0.737510681152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763969421386719 × 216)
    floor (0.763969421386719 × 65536)
    floor (50067.5)     		tx = 50067
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.737510681152344 × 216)
    floor (0.737510681152344 × 65536)
    floor (48333.5)     		ty = 48333
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50067 / 48333 ti = "16/50067/48333"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50067/48333.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50067 ÷ 216
    50067 ÷ 65536     		x = 0.763961791992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48333 ÷ 216
    48333 ÷ 65536     		y = 0.737503051757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763961791992188 × 2 - 1) × π
    0.527923583984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.65852085
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.737503051757812 × 2 - 1) × π
    -0.475006103515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.49227568517235
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65852085} λ = 1.65852085}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.49227568517235))-π/2
    2×atan(0.224860361460082)-π/2
    2×0.221181528401259-π/2
    0.442363056802518-1.57079632675     		φ = -1.12843327
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65852085} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.026245°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.12843327 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -64.654464°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50067 KachelY 48333 1.65852085 -1.12843327 95.026245 -64.654464
    Oben rechts KachelX + 1 50068 KachelY 48333 1.65861673 -1.12843327 95.031738 -64.654464
    Unten links KachelX 50067 KachelY + 1 48334 1.65852085 -1.12847431 95.026245 -64.656815
    Unten rechts KachelX + 1 50068 KachelY + 1 48334 1.65861673 -1.12847431 95.031738 -64.656815
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.12843327--1.12847431) × R
    4.10400000001587e-05 × 6371000     		dl = 261.465840001011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.12843327--1.12847431) × R
    4.10400000001587e-05 × 6371000     		dr = 261.465840001011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65852085-1.65861673) × cos(-1.12843327) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.428076253411305 × 6371000     		do = 261.491012949585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65852085-1.65861673) × cos(-1.12847431) × R
    9.58800000001592e-05 × 0.428039163453734 × 6371000     		du = 261.468356494109m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.12843327)-sin(-1.12847431))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.428076253411305-0.428039163453734)×R²
    abs(1.65861673-1.65852085)×3.70899575710126e-05×R²
    9.58800000001592e-05×3.70899575710126e-05×6371000²
    9.58800000001592e-05×3.70899575710126e-05×40589641000000     		ar = 68368.0054184736m²