Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 50066 / 58421
↖ ↑ ↗
← N 19.173707°
W 42.489624°		 ← 288.48 m → N 19.173707°
W 42.486877°		 →
↑
288.48 m
↓
↑
288.48 m
↓
N 19.171113°
W 42.489624°		 ← 288.49 m →
83 222 m²		 N 19.171113°
W 42.486877°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 58421 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.381977081298828 y=0.445720672607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.381977081298828 × 217)
    floor (0.381977081298828 × 131072)
    floor (50066.5)     		tx = 50066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445720672607422 × 217)
    floor (0.445720672607422 × 131072)
    floor (58421.5)     		ty = 58421
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 50066 / 58421 ti = "17/50066/58421"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/50066/58421.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50066 ÷ 217
    50066 ÷ 131072     		x = 0.381973266601562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 58421 ÷ 217
    58421 ÷ 131072     		y = 0.445716857910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.381973266601562 × 2 - 1) × π
    -0.236053466796875 × 3.1415926535     		Λ = -0.74158384
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445716857910156 × 2 - 1) × π
    0.108566284179688 × 3.1415926535     		Φ = 0.3410710407967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.74158384} λ = -0.74158384}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.3410710407967))-π/2
    2×atan(1.40645315286571)-π/2
    2×0.952720322760832-π/2
    1.90544064552166-1.57079632675     		φ = 0.33464432
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.74158384} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -42.489624°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33464432 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.173707°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50066 KachelY 58421 -0.74158384 0.33464432 -42.489624 19.173707
    Oben rechts KachelX + 1 50067 KachelY 58421 -0.74153590 0.33464432 -42.486877 19.173707
    Unten links KachelX 50066 KachelY + 1 58422 -0.74158384 0.33459904 -42.489624 19.171113
    Unten rechts KachelX + 1 50067 KachelY + 1 58422 -0.74153590 0.33459904 -42.486877 19.171113
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33464432-0.33459904) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dl = 288.478879999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33464432-0.33459904) × R
    4.52799999999809e-05 × 6371000     		dr = 288.478879999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.74158384--0.74153590) × cos(0.33464432) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944527186510665 × 6371000     		do = 288.482914889949m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.74158384--0.74153590) × cos(0.33459904) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.944542056999551 × 6371000     		du = 288.487456720021m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33464432)-sin(0.33459904))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.944527186510665-0.944542056999551)×R²
    abs(-0.74153590--0.74158384)×1.48704888858209e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48704888858209e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48704888858209e-05×40589641000000     		ar = 83221.8833118166m²