Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 50066 / 51055
↖ ↑ ↗
← S 70.346470°
E 95.020752°		 ← 205.43 m → S 70.346470°
E 95.026245°		 →
↑
205.40 m
↓
↑
205.40 m
↓
S 70.348317°
E 95.020752°		 ← 205.41 m →
42 193 m²		 S 70.348317°
E 95.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 51055 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763954162597656 y=0.779045104980469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763954162597656 × 216)
    floor (0.763954162597656 × 65536)
    floor (50066.5)     		tx = 50066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779045104980469 × 216)
    floor (0.779045104980469 × 65536)
    floor (51055.5)     		ty = 51055
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50066 / 51055 ti = "16/50066/51055"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50066/51055.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50066 ÷ 216
    50066 ÷ 65536     		x = 0.763946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 51055 ÷ 216
    51055 ÷ 65536     		y = 0.779037475585938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    0.52789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65842498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779037475585938 × 2 - 1) × π
    -0.558074951171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75324416670393
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65842498} λ = 1.65842498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75324416670393))-π/2
    2×atan(0.173211105273167)-π/2
    2×0.171509403041419-π/2
    0.343018806082838-1.57079632675     		φ = -1.22777752
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65842498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22777752 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.346470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50066 KachelY 51055 1.65842498 -1.22777752 95.020752 -70.346470
    Oben rechts KachelX + 1 50067 KachelY 51055 1.65852085 -1.22777752 95.026245 -70.346470
    Unten links KachelX 50066 KachelY + 1 51056 1.65842498 -1.22780976 95.020752 -70.348317
    Unten rechts KachelX + 1 50067 KachelY + 1 51056 1.65852085 -1.22780976 95.026245 -70.348317
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22777752--1.22780976) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dl = 205.401039999399m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22777752--1.22780976) × R
    3.22399999999057e-05 × 6371000     		dr = 205.401039999399m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65842498-1.65852085) × cos(-1.22777752) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336331562443144 × 6371000     		do = 205.427205005259m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65842498-1.65852085) × cos(-1.22780976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.336301200453459 × 6371000     		du = 205.408660273287m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22777752)-sin(-1.22780976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336331562443144-0.336301200453459)×R²
    abs(1.65852085-1.65842498)×3.03619896849794e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.03619896849794e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.03619896849794e-05×40589641000000     		ar = 42193.0570020799m²