Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 50066 / 48525
↖ ↑ ↗
← S 65.102211°
E 95.020752°		 ← 257.14 m → S 65.102211°
E 95.026245°		 →
↑
257.13 m
↓
↑
257.13 m
↓
S 65.104524°
E 95.020752°		 ← 257.12 m →
66 117 m²		 S 65.104524°
E 95.026245°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 50066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 48525 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.763954162597656 y=0.740440368652344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.763954162597656 × 216)
    floor (0.763954162597656 × 65536)
    floor (50066.5)     		tx = 50066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.740440368652344 × 216)
    floor (0.740440368652344 × 65536)
    floor (48525.5)     		ty = 48525
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 50066 / 48525 ti = "16/50066/48525"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/50066/48525.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 50066 ÷ 216
    50066 ÷ 65536     		x = 0.763946533203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 48525 ÷ 216
    48525 ÷ 65536     		y = 0.740432739257812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.763946533203125 × 2 - 1) × π
    0.52789306640625 × 3.1415926535     		Λ = 1.65842498
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.740432739257812 × 2 - 1) × π
    -0.480865478515625 × 3.1415926535     		Φ = -1.51068345462645
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.65842498} λ = 1.65842498}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.51068345462645))-π/2
    2×atan(0.220759047595816)-π/2
    2×0.217274195266485-π/2
    0.434548390532969-1.57079632675     		φ = -1.13624794
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.65842498} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 95.020752°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.13624794 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -65.102211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 50066 KachelY 48525 1.65842498 -1.13624794 95.020752 -65.102211
    Oben rechts KachelX + 1 50067 KachelY 48525 1.65852085 -1.13624794 95.026245 -65.102211
    Unten links KachelX 50066 KachelY + 1 48526 1.65842498 -1.13628830 95.020752 -65.104524
    Unten rechts KachelX + 1 50067 KachelY + 1 48526 1.65852085 -1.13628830 95.026245 -65.104524
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.13624794--1.13628830) × R
    4.03599999998505e-05 × 6371000     		dl = 257.133559999048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.13624794--1.13628830) × R
    4.03599999998505e-05 × 6371000     		dr = 257.133559999048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.65842498-1.65852085) × cos(-1.13624794) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.421000803919884 × 6371000     		do = 257.142142194428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.65842498-1.65852085) × cos(-1.13628830) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.420964194624736 × 6371000     		du = 257.119781684683m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.13624794)-sin(-1.13628830))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.421000803919884-0.420964194624736)×R²
    abs(1.65852085-1.65842498)×3.66092951480379e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.66092951480379e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.66092951480379e-05×40589641000000     		ar = 66116.9996385921m²